Funciones logarítmicas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Función logarítmica de base a
- 1.1 Propiedades
2 El modelo logarítmico
3 Calculadora
- 3.1 Logartitmo decimal
- 3.2 Logartitmo neperiano

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Función logarítmica de base a

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función logarítmica de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \\ \, \qquad \qquad \ x \ \rightarrow y=log_a \, x \end{matrix}$

La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por $ln \, x$ .

La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por $log \, x$ (sin especificar la base).

Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

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Propiedades

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio: $D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}$ .
Pasan por $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes.
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice $\sqrt[n]{x}$ .

La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .

Funciones logarítmicas

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El modelo logarítmico

Ejemplo: Modelo logarítmico

Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como

$k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)$

donde $S\;$ es la intensidad subjetiva del estímulo, $I\;$ la intensida física del estímulo, $I_0\;$ la intensidad física umbral y $k\;$ es una constante que difiere en cada estímulo sensorial.

Por ejemplo, la percepción de la sonoridad $B\;$ , en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física $I\;$ en $W / m 2$ está dada por

$B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)$

donde $I_0\;$ la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física $I\;$ es 100 veces la de $I_0\;$ .

Solución:

Partimos del hecho de que $I= 100 \, I_0$ , entonces, sustituyendo en la fórmula de la percepción sonora, tendremos: