Funciones logarítmicas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Función logarítmica de base a

Sea a>0 \ , (a \ne 1) un número real. Se define la función logarítmica de base a\; como:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \quad  \\ \, \quad x & \rightarrow &  log_a \, x \end{matrix}

La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por ln \, x. La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por log \, x (sin especificar la base).

En la representación gráfica de la derecha puedes ver funciones logarítmicas en varias bases:

  • En rojo representa el logaritmo en base e,
  • En verde corresponde a la base 10,
  • En púrpura al de la base 1,7.

Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos (a, 1) para la base a, debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.

Imagen:Logarithms.png

ejercicio

Actividad Interactiva: Función logarítmica


Actividad 1. Representación gráfica de distintas funciones logarítimicas y comparación con la función exponencial con la misma base.

Propiedades

ejercicio

Propiedades de la función logarítmica


Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en \mathbb{R}{}_*^+.
  • Pasan por (1,0)\; y (a,1)\;.
  • Si a>1\; son crecientes y si 0<a<1\; son decrecientes. Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice \sqrt[n]{x}.
  • La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta y=x\;.

ejercicio

Actividad Interactiva: Propiedades de la función logar´tmica


Actividad 1. Comprueba las propiedades de las funciones logarítmicas en la siguiente escena.

El modelo logarítmico

ejercicio

Ejemplo: Modelo logarítmico


Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como

k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)

donde S\; es la intensidad subjetiva del estímulo, I\; la intensida física del estímulo, I_0\; la intensidad física umbral y k\; es una constante que difiere en cada estímulo sensorial.

Por ejemplo, la percepción de la sonoridad B\;, en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física I\; en W / m2 está dada por

B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)

donde I_0\; la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física I\; es 100 veces la de I_0\;.

Calculadora

Logartitmo decimal

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal


Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo decimal.

Logartitmo neperiano

Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano


Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo neperiano.

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