Funciones logarítmicas (1ºBach)

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Función logarítmica de base a

Sea a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1. Se define la función logarítmica de base a\; como:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+  \rightarrow  \mathbb{R} \quad  \\ \, \qquad \qquad \  x \  \rightarrow   y=log_a \, x \end{matrix}

La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por ln \, x.

La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por log \, x (sin especificar la base).

Funciones logarítmicas con distintas bases:   - En rojo está representada la de base e.   - En verde la de base 10.   - En púrpura la de base 1.7.
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Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

Propiedades

ejercicio

Propiedades de la función logarítmica


Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio: D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}.
  • Pasan por (1,0)\; y (a,1)\;.
  • Crecimiento:
  • Si a>1\; son crecientes.
  • Si 0<a<1\; son decrecientes.
  • Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice \sqrt[n]{x}.
  • La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta y=x\;.
Funciones logarítmicas
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Funciones logarítmicas

El modelo logarítmico

ejercicio

Ejemplo: Modelo logarítmico


Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como

k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)

donde S\; es la intensidad subjetiva del estímulo, I\; la intensida física del estímulo, I_0\; la intensidad física umbral y k\; es una constante que difiere en cada estímulo sensorial.

Por ejemplo, la percepción de la sonoridad B\;, en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física I\; en W / m2 está dada por

B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)

donde I_0\; la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física I\; es 100 veces la de I_0\;.

Calculadora

Logartitmo decimal

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal


Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo decimal.

Logartitmo neperiano

Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano


Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo neperiano.

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