Inecuaciones (4ºESO-B)

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Orden en el conjunto de los números reales

En el conjunto de los números reales existe un orden que queda constatado al representarlos gráficamente en la recta numérica.

Un número es mayor que otro si está situado más a la derecha en la recta numérica y es menor si está situado más a la izquierda.

ejercicio

Relación de orden


Dados dos números, a\; y b\;, se dará uno de los siguientes casos:

  • El primero es menor que el segundo: a<b\; (Se lee "a es menor que b").
  • El primero es igual que el segundo: a=b\; (Se lee "a es igual que b").
  • El primero es mayor que el segundo: a>b\; (Se lee "a es mayor que b").



ejercicio

Propiedades


  • Todo número negativo es menor que cero y todo número positivo es mayor que cero.
  • Si dos números son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto.
  • Si dos números son negativos, el mayor es el que tiene menor valor absoluto.
  • Si a > b\;, entonces -b > -a \;

Inecuaciones

  • Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas.
  • Para las desigualdades utilizaremos los símbolos: <\; (menor que); >\; (mayor que); \le\; (menor o igual que) y \ge\; (mayor o igual que).
  • Las inecuaciones que usan los dos primeros símbolos se llaman inecuaciones estrictas y las que utilizan los dos últimos, inecuaciones no estrictas.
  • Si las expresiones algebraicas son polinomios de grado 1, las inecuaciones se llaman lineales y si son de grado 2, cuadráticas.
  • Una solución de una inecuación es un conjunto de valores de las variables (uno de cada una) que hace que se cumpla la desigualdad.
  • Resolver una inecuación consiste en hallar todas sus soluciones.

Sistemas de inecuaciones

  • Un sistema de inecuaciones es una agrupación de dos o más inecuaciones.
  • Una solución de un sistema de inecuaciones es un conjunto de valores de las variables (uno de cada una) que hace que se cumplan todas las desigualdades del sistema.
  • Resolver un sistema de inecuaciones consiste en hallar todas sus soluciones. Para ello se hará la intersección de los conjuntos solución de las inecuaciones del sistema.

Reglas para trabajar con inecuaciones

ejercicio

Reglas para trabajar con desigualdades


Sean x, y, z \in \mathbb{R}, se cumplen las siguientes propiedades:

1.  x<y \Rightarrow x+z<y+z
2.  x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z
3.  x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z
4.  x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}

Como consecuencia, en una inecuación:

  • Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
  • Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

Inecuaciones con una incógnita

  • Una inecuación con una incógnita es una desigualdad entre expresiones matemáticas con una sola variable o incógnita.
  • Una solución de una inecuación con una incógnita, x\;, es un valor de la variable x\; que hace que se cumpla la desigualdad.
  • Resolver una inecuación consiste en hallar todas sus soluciones. Habitualmente son infinitas y se expresan mediante intervalos de la recta real, aunque tambien puede ser finitas o no existir.

ejercicio

Resolución de inecuaciones con una incógnita


Para resolver las inecuaciones con una incógnita podemos utilizar dos métodos:

  • El método algebraico que consiste en despejar la incógnita usando las reglas para trabajar con desigualdades antes mencionadas. Se podrá aplicar a las inecuaciones lineales, pero no a las cuadráticas ni a las de grado superior.
  • El método gráfico que se apoya en el estudio del signo de una función polinómica. En este método, primero se pasan todos los términos al lado izquierdo de la inecuación, dejando el lado derecho cero. A continuación, se estudia el signo del polinomio que queda en el lado izquierdo. Se podrá aplicar a las tanto a las inecuaciones lineales como a las cuadráticas y de grado superior.

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Una inecuación lineal con una incógnita es una inecuación, en la que las expresiones matemáticas que intervienen en la desigualdad, son polinomios de primer grado en una sola variable. En consecuencia, puede ponerse, mediante transformaciones, de alguna de estas formas:

ax+b<0 \ , \quad ax+b \le 0  \ , \quad ax+b>0 \ , \quad ax+b \ge 0 \qquad (a \ne 0)

donde a,b \in \mathbb{R} son los coeficientes y x \; es la variable.

Resolución de una inecuación lineal con una incógnita

Método algebraico de resolución

El método algebraico aplica las anteriores transformaciones para conseguir dejar despejada la incógnita.

ejercicio

Ejemplo: Inecuaciones lineales con una incógnita (método algebraico)


Resuelve la siguiente inecuación:

-3x+2<5\;

Método gráfico de resolución

ejercicio

Inecuaciones lineales con una incógnita (método gráfico)


Las soluciones de una inecuación lineal con una incógnita son los puntos de la semirrecta que se encuentra a uno de los dos lados del punto de corte de la recta y=ax+b \; con el eje de abscisas, es decir del punto x=-\cfrac{b}{a}.

En una de las semirrectas con origen ese punto se cumple la condición ax+b > 0\; y en la otra, la condición ax-b < 0\;.

Así, para determinar la semirrecta solución, basta con fijarse en los valores de la variable x para los que la recta y=ax+b \;está por encima o por debajo del eje de abscisas.

Si la inecuación no es estricta, el punto del extremo de la semirrecta, x=-\cfrac{b}{a}, es también solución, ya que para él se verifica la igualdad.

Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita, hay que resolver cada inecuación por separado y finalmente seleccionar la solución común a ambas (intersección de los conjuntos solución de ambas).

ejercicio

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita


Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

\begin{cases} 2x-6 & < 0 \\ \; \, x+2 & \ge 0 \end{cases}

Resolución de inecuaciones lineales dobles con una incógnita

Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Una inecuación cuadrática con una incógnita es una inecuación en la que las expresiones matemáticas que intervienen en la desigualdad, son polinomios de segundo grado en una sola variable. En consecuencia, puede ponerse, mediante transformaciones, de alguna de estas formas:

ax^2+bx+c<0 \ , \quad ax^2+bx+c \le 0  \ , \quad ax^2+bx+c>0 \ , \quad ax^2+bx+c \ge 0 \qquad (a \ne 0)

Resolución de inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Para resolver estas inecuaciones usaremos el método gráfico. Este método requiere que el miembro de la derecha de la inecuación sea cero, lo cual siempre se puede conseguir mediante transformaciones.

Herramientas personales
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