Inecuaciones con una incógnita (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Inecuaciones con una incógnita

(pág. 85)

  • Una inecuación con una incógnita es una desigualdad entre expresiones algebraicas con una sola variable. Para las desigualdades utilizaremos los símbolos: <\; (menor que); >\; (mayor que); \le\; (menor o igual que) y \ge\; (mayor o igual que).
  • Una solución de una inecuación con una incógnita, x\;, es un valor de la variable x\; que hace que se cumpla la desigualdad.
  • Resolver una inecuación consiste en hallar todas sus soluciones. Habitualmente son infinitas y se expresan mediante intervalos de la recta real, aunque tambien puede ser finitas o no existir.

Reglas para trabajar con inecuaciones

ejercicio

Reglas para trabajar con desigualdades


Sean x, y, z \in \mathbb{R}, se cumplen las siguientes propiedades:
  1.     x<y \Rightarrow x+z<y+z
  2.     x<y~,~ z>0 \Rightarrow xz<yz
  3.     x<y~,~ z<0 \Rightarrow xz>yz
  4.     x<y \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}

Como consecuencia, en una inecuación:

  • Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
  • Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

Resolución de inecuaciones con una incógnita

Para resolver las inecuacines con una incógnita podemos utilizar dos métodos:

  • El método algebraico que consiste en despejar la incógnita mediante las transformaciones antes mencionadas.
  • El método gráfico que se apoya en el estudio del signo de una función polinómica adecuada. En este método, primero se pasan todos los términos al lado izquierdo de la inecuación, dejando el lado derecho cero. A continuación, se estudia el signo del polinomio que queda en el lado izquierdo.

Inecuaciones lineales con una incógnita

  • Una inecuación lineal con una incógnita es una inecuación que puede ponerse de alguna de estas formas:
ax+b<0 \ , \quad ax+b \le 0  \ , \quad ax+b>0 \ , \quad ax+b \ge 0 \qquad (a \ne 0)

Método algebraico de resolución

El método algebraico aplica las anteriores transformaciones para conseguir dejar despejada la incógnita.

ejercicio

Ejemplo: Inecuaciones lineales con una incógnita


Resuelve la siguiente inecuación:
-3x+2<5\;

Método gráfico de resolución

El método gráfico requiere que el miembro de la derecha de la inecuación sea cero, lo cual puede conseguirse mediante las transformaciones antes mencionadas.

ejercicio

Ejemplo: Inecuaciones lineales con una incógnita


Resuelve la siguiente inecuación por el método gráfico:
2x-3 \le 0 \;

wolfram

Actividad: Inecuaciones lineales con una incógnita


Resuelve:
-2x+1<7\,

Ejercicios

(pág. 85)

ejercicio

Ejercicios propuestos: Inecuaciones lineales con una incógnita


    1. Resuelve estas inecuaciones:

        a) 3x-2 \le 10 \;    b) x-2 > 1 \;    c) 2x+5 \ge 6 \;    d) 3x+1 \le 15 \;

Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita

  • Un sistema de inecuaciones con una incógnita es una agrupación de dos o más inecuaciones con una incógnita.
  • Una solución de un sistema de inecuaciones con una incógnita x\;, es un valor de la variable x\; que hace que se cumplan todas las desigualdades del sistema.
  • Resolver un sistema de inecuaciones consiste en hallar todas sus soluciones. Las soluciones pueden ser infinitas y formar un intervalo de la recta real, o pueden ser finitas o incluso no existir.

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita, hay que resolver cada inecuación por separado y finalmente seleccionar la solución común a ambas (intersección de los conjuntos solución de ambas).

ejercicio

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita


Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

\begin{cases} 2x-6 & < 0 \\ \; \, x+2 & \ge 0 \end{cases}

wolfram

Actividad: Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita


Resuelve:

\begin{cases} 3x-9<0 \\ 2x+4 \ge 0 \end{cases}

Ejercicios

(pág. 85)

ejercicio

Ejercicios propuestos: Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita


    2. Resuelve estos sistemas de inecuaciones:

        a) \begin{cases} 3x-2 & \le 10 \\ \; \, x-2 & > 1 \end{cases}    b) \begin{cases} 2x+5 & \ge 6 \\ 3x+1 & \le 15 \end{cases}    

Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

(pág. 86)

  • Una inecuación cuadrática con una incógnita es una inecuación que puede ponerse de alguna de estas formas:
ax^2+bx+c<0 \ , \quad ax^2+bx+c \le 0  \ , \quad ax^2+bx+c>0 \ , \quad ax^2+bx+c \ge 0 \qquad (a \ne 0)

Método gráfico de resolución

El método gráfico requiere que el miembro de la derecha de la inecuación sea cero, lo cual siempre se puede conseguir mediante transformaciones.

ejercicio

Ejemplo: Inecuaciones cuadráticas con una incógnita


Resuelve la siguiente inecuación:

x^2-5x+4<0\;

wolfram

Actividad: Inecuaciones cuadráticas con una incógnita


Resuelve:
a) x^2-5x+4 \le 0
b) \begin{cases} x^2-3x-4 \ge 0 \\ 2x-7>5 \end{cases}

Ejercicios

(pág. 86)

ejercicio

Ejercicios propuestos: Inecuaciones cuadráticas con una incógnita


    1. Resuelve estas inecuaciones:

        a) x^2-3x-4 < 0 \;    b) x^2-3x-4 \ge 0 \;    c) x^2+7 < 0 \;    d) x^2-4 \le 0 \;

    2. Resuelve estos sistemas de inecuaciones:

        a) \begin{cases} x^2-3x-4 & \ge 0 \\ \, \quad \quad 2x-7 & > 5 \end{cases}    b) \begin{cases} x^2-4 & \le 0 \\ \ x-4 & > 1 \end{cases}    

Inecuaciones lineales con dos incógnitas (Para ampliar)

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