Límites en el infinito (2ºBach)

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Límite en el infinito

  • Decimos que "x\; tiende a + infinito" (x \rightarrow + \infty) cuando x\; toma valores positivos tan grandes como queramos.
  • Decimos que "x\; tiende a - infinito" (x \rightarrow - \infty) cuando x\; toma valores negativos tan pequeños como queramos.
  • A veces te podrás encontrar también la expresión "x\; tiende a infinito" (x \rightarrow \infty) cuando x\; tiende, indistintamente, a + infinito o a - infinito.

Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a + \infty (o a - \infty) son los siguientes:

  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R} si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan proximos a L\; como se quiera.
En este caso se dice que la recta y=L\; es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.


En estas tres definiciones se puede cambiar x \to +\infty por x \to -\infty para obtener otras tres definiciones análogas.

ejercicio

Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito


Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en + \infty y - \infty, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.

a) f(x)= \cfrac{1}{x}        b) f(x)= x^3\;        c) f(x)= 2^x\;        d) f(x)= log \, x        e) f(x)= sen \, x

Límite en el infinito de funciones polinómicas

ejercicio

Proposición


Sea P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\; una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \end{cases}
  • \lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to - \infty} a_nx^n = \begin{cases}  +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\  +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es impar} \\  -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0  \ \mbox{y n es impar}  \end{cases}

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

Límite en el infinito de funciones racionales

ejercicio

Proposición


Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:

\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;

Se cumple que:

\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}         (análogamente si x \to - \infty)

Se pueden dar los siguientes casos:

  • grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser + \infty ó - \infty.
  • grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante, \cfrac{a_n}{b_n}, que es el valor del límite.
  • grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.

Otros límites en el infinito

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