Límites en el infinito (2ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Límite en el infinito
2 Límite en el infinito de funciones polinómicas
3 Límite en el infinito de funciones racionales
4 Otros límites en el infinito

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Límite en el infinito

Decimos que " $x\;$ tiende a + infinito" ( $x \rightarrow + \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores positivos tan grandes como queramos.

Decimos que " $x\;$ tiende a - infinito" ( $x \rightarrow - \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores negativos tan pequeños como queramos.

A veces te podrás encontrar también la expresión " $x\;$ tiende a infinito" ( $x \rightarrow \infty$ ) cuando $x\;$ tiende, indistintamente, a $+ \infty$ o a $- \infty$ , aunque también hay quien la usa en lugar de $x \rightarrow + \infty$ .

Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a $+ \infty$ (o a $- \infty$ ) son los siguientes:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$ si cuando $x \to + \infty$ , los valores de $f(x)\;$ se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
$\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$ si cuando $x \to + \infty$ , los valores de $f(x)\;$ se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
$\lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R}$ si cuando $x \to + \infty$ , los valores de $f(x)\;$ se hacen tan proximos a $L\;$ como se quiera.

En este caso se dice que la recta $y=L\;$ es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.

En estas tres definiciones se puede cambiar $x \to +\infty$ por $x \to -\infty$ para obtener otras tres definiciones análogas.

Límite de una función en el infinito

Tutorial 1 (6'29") Sinopsis:

Idea gráfica del límite de una función cuando x tiende a infinito

Tutorial 2 (12'33") Sinopsis:

4 ejemplos muy sencillos.

Tutorial 3 (17'30") Sinopsis:

En este vídeo hablamos del límite de la función "f" cuando x → +∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞. También hablamos del límite de "f" cuando x → -∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞.

Tutorial 4 (nivel superior) (33'58") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite de una función cuando x tiende a (+/-) infinito.

Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en $+ \infty$ y $- \infty$ , cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.

a) $f(x)= \cfrac{1}{x}$ b) $f(x)= x^3\;$ c) $f(x)= 2^x\;$ d) $f(x)= log \, x$ e) $f(x)= sen \, x$

Solución:

a) $\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x}=0$ (La recta y=0 es una A.H. por $+ \infty$ )

$\lim_{x \to -\infty} \cfrac{1}{x}=0$ (La recta y=0 es una A.H. por $- \infty$ )

b) $\lim_{x \to + \infty} x^3= + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} x^3= - \infty$

c) $\lim_{x \to + \infty} 2^x= + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} 2^x= 0$ (La recta y=0 es una A.H. por $- \infty$ )

d) $\lim_{x \to + \infty} log \, x=+ \infty$

$\lim_{x \to - \infty} log \, x= \mbox{no tiene sentido plantearlo}$

e) $\lim_{x \to + \infty} sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante}$

$\lim_{x \to - \infty} sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante}$

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

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Límite en el infinito de funciones polinómicas

Proposición

Sea $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\;$ una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

$\lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \end{cases}$
$\lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to - \infty} a_nx^n = \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\ +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es impar} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es impar} \end{cases}$

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

Ejemplos:

$\lim_{x \to + \infty} 5x^4-2x^2 = \lim_{x \to + \infty} 5x^4 = + \infty$

$\lim_{x \to + \infty} -3x^4-2x^2 = \lim_{x \to + \infty} -3x^4= - \infty$

$\lim_{x \to - \infty} -2x^3-2x^2 = \lim_{x \to - \infty} -2x^3 = + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = \lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} -2x^2-2x^2 = \lim_{x \to - \infty} -2x^2 = - \infty$

$\lim_{x \to - \infty} 2x^3-2x^2 = \lim_{x \to - \infty} 2x^3 = - \infty$

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^3-1}{-5} = \lim_{x \to - \infty} -\cfrac{1}{5}x^3 + \cfrac{1}{5} = \lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{5}x^3 = + \infty$

Límite de un polinomio en el infinito

Tutorial 1 (9'59") Sinopsis:

Al calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞) sólo debes preocuparte del sumando de mayor grado, pues es él quien corta el bacalao.

Tutorial 2 (15'57") Sinopsis:

Otra forma de calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞). También se incluyen otros casos de funciones radicales que tienen un tratamiento similar.

Ejercicios 1 (12'02") Sinopsis:

Ejercicios de límites de funciones polinómicas.

Ejercicios 2 (8'05") Sinopsis:

Ejercicios de límites de funciones polinómicas.

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Límite en el infinito de funciones racionales

Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;$

Se cumple que:

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}$ (análogamente si $x \to - \infty$ )

Se pueden dar los siguientes casos:

grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser $+ \infty$ ó $- \infty$ .
grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante, $\cfrac{a_n}{b_n}$ , que es el valor del límite.
grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.

Ejemplos:

$\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2-5x+3}{3x-5} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2}{3x} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x}{3} = - \infty$

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2+3}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x} = 0$

$\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2-5x+1}{2x^2-6} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2}{2x^2} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3}{2} = \cfrac{3}{2}$

Límite de una función racional en el infinito

Tutorial 1 (14'19") Sinopsis:

Límites cuando x tiende a infinito de cocientes de polinomios (método rápido) y diferencias de expresiones infinitas.

Tutorial 2 (26'20") Sinopsis:

Límite de funciones racionales y de raíces de funciones racionales.

Tutorial 3a (3'43") Sinopsis:

Caso 1: denominador con grado mayor que el numerador.

Tutorial 3b (3'55") Sinopsis:

Caso 2: denominador con grado igual que el numerador.

Tutorial 3c (2'57") Sinopsis:

Caso 3: denominador con grado menor que el numerador.

Tutorial 4 (11'23") Sinopsis:

Para calcular el límite de un cociente de polinomios cuando x → +∞ o cuando x → -∞, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de "x" que aparezca en el denominador.

Si numerador y denominador son de igual grado, el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y el denominador.
Si el numerador es de menor grado que el denominador, el límite es 0.
Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el límite es +∞ ó -∞ según que el numerador y el denominador tengan igual signo o no.

Ejercicio 1a (5'16") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to + \infty} \cfrac{4x}{x^2+9}$

Ejercicio 1b (5'40") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to + \infty} \cfrac{3x^2+x-2}{x^2-5}$

Ejercicio 1c (4'32") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to + \infty} log \, \cfrac{x^6-500}{x^6+500}$