La distribución binomial

De Wikipedia

Distribución binomial

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:


1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: A, llamado éxito, y su contrario \bar{A}, llamado fracaso.
2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
3. La probabilidad de   A , que denotamos por   p , no varía de una prueba a otra.
4. En cada experimento se realizan   n   pruebas idénticas.


Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la distribución binomial. Su función de probabilidad queda determinada por n número de pruebas idénticas realizadas y p probabilidad de éxito en una de ellas.

A la variable   X , que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le llama variable aleatoria binomial B(n,p).

Su función de probabilidad es:

\mathrm{P} \left(   \, X \, = \, r \, \right) \, = \, \left(   \, { n \atop r } \right) \cdot p^r \cdot \left(   \, 1 \, - \, p \, \right) ^ \left(   \, n \, - \, r \, \right)


Además

  E(X)=n.p \qquad \sigma= \sqrt{n.p.(1-p)}

ejercicio

Proposición


Obtención de la función de probabilidad.


Distribución de probabilidad B(n, p).


ejercicio

Ejemplo: Distribución binomial


¿Cual es la probabilidad de que en una familia con 5 hijos, 3 sean chicos y 2 chicas?


ejercicio

Actividades Interactivas: La Binomial


Actividad 1. Observa el recorrido de una bola en el aparato de Galton (utiliza animar y los controles para que vaya paso a paso). En cada bifurcación la bola puede ir a la izquierda con probabilidad p o a la derecha con probabilidad q=1-p. La variable aleatoria que toma valor 0 si cae a la izquierda o 1 si cae a la derecha se llama de Bernoulli. La variable X que da el número de unos al finalizar el recorrido (suma de variables de Bernoulli independientes) se llama binomial. ¿Qué valores puede tomar X?
Actividad 2. Simula en el aparato de Galton el lanzamiento de 6 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 caras (p=1/2)? Haz la prueba con 100 lanzamientos (Control Num. bolas) y comprueba que coinciden aproximadamente el resultado teórico y el experimental.
Actividad 3. Para p=0.6 y n=10, halla P(X=6). Comprueba, hallando la probabilidad con los demás valores de k, que X=6 es el valor más probable (valor "esperado"). Haz el experimento en el aparato de Galton para 100 bolas comprobando que es cierto.
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