La distribución normal

De Wikipedia

Tabla de contenidos

Definición

Entre las distribuciones continuas la más importante es la llamada distribución normal.

Fue introducida por Carl Friedrich Gauss a principios del siglo XIX en su estudio de los errores de medida. Desde entonces se ha utilizado como modelo en multitud de variables (peso, altura, calificaciones...), en cuya distribución los valores más usuales se agrupan en torno a uno central y los valores extremos son escasos.


Una variable aleatoria continua sigue una distribución normal si su función de densidad es:

f(x)= \frac{1} { \sigma \sqrt{2 \pi}}e^{- \frac{(x- \mu )^2} {2 \sigma^2}}

donde \mu \quady \quad \sigma coinciden respectivamente con la media y la desviación típica de la variable aleatoria. Estos parámetros son los que determinan esta distribución que designaremos por N(μ,σ)


ejercicio

Actividades Interactivas: La Campana de Gaus


Actividad 1. Propiedades de la curva normal

Tabla N(0,1)

En la tabla N(0,1) aparece directamente la P(Z \le z) para valores de z entre 0 y 4. Observa que para valores mayores que 4 la probabilidad ya es prácticamente 1.

Manejo de la tabla

ejercicio

Actividades Interactivas: Cálculo de probabilidades N(0,1)


Actividad 1.Tipo I: P(Z \le z)


Actividad 2.Tipo II: P(Z \le -z)


Actividad 3.Tipo III: P(z_1 \le Z \le z_2)

Tipificación

Como ya debes saber, para calcular probabilidades con variables que siguen la distribución normal se usan tablas. Pero, puesto que sería imposible tener una tabla para cada posible distribución normal, como habrás visto en el apartado anterior, solamente tenemos la tabla de la distribución normal estándar. Necesitamos, ser capaces de transformar las variables X \rightarrow N( \mu , \sigma ) que encontremos, en variables Z \rightarrow N( 0 , 1). Este proceso se llama tipificación de la variable.


ejercicio

Ejercicios: Cálculo de probabilidades


1. Calcula:

a) En N(10,5); P(X \le 15)

b) En N(9,3); P(X > 15)

c) En N(12,5); P(X \ge 9)

d) En N(10;3,5); P(11 \le X \le 15)

e) En N(12,3); P(10 \le X \le 14)
2. Las estaturas de cierta población se distribuyen según una normal de media 168 y desviación típica 8. Calcula la probabilidad de que elegida una persona al azar su altura sea 170 cm. como máximo.
3. Las notas de cierto examen se distribuyen según una normal de media 5,4 y desviación típica 1,2. ¿Qué porcentaje de estudiantes se puede esperar que sacasen entre 5 y 7?


Aproximación de una binomial por una normal

Una distribución binomial B(n,p) se parece a una normal tanto más cuanto mayor es el producto np (o nq si q<p, siendo q=1-p). Cuando np y nq superan 5, la aproximación es casi perfecta.

En estas condiciones:

X \rightarrow B( n, p) se aproxima a X' \rightarrow N( n.p, \sqrt{n.p.q} )


ejercicio

Ejercicios: Cálculo de probabilidades de las binomiales


1. El 35% de una población está afectado por la gripe. Se eligen 30 personas al azar.

Calcula la probabilidad de que:

a) haya exactamente 10 enfermos.

b) haya más de 5 y menos de 12 enfermos.

Se trata de una X \rightarrow B( 30, 0.35) se aproxima a X' \rightarrow N( 10.5, 2.61 )

2. Se lanza una moneda 200 veces:

a) Calcula la probabilidad de que aparezca cara al menos 100 veces.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan 90 caras?

Se trata de una X \rightarrow B(200, \frac{1} {2}) se aproxima a X' \rightarrow N(200. \frac{1} {2}, \sqrt{200.\frac{1} {2}.\frac{1} {2}})


Herramientas personales
AVISO: Si los applets de Java no te funcionan prueba a bajar a "Media" el nivel de seguridad en: Panel de Control > Java > Seguridad > Nivel de Seguridad
COMPARTE ESTA WEB: