Las cónicas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Secciones cónicas

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.

Según como corte el plano al cono tendremos (ver figura):

  • Hipérbola: el plano forma con la base un ángulo mayor que el que forma la generatriz.
  • Parábola: el plano es paralelo a la generatriz.
  • Elipse: el plano forma con la base un ángulo menor que el que forma la generatriz.
  • Circunferencia: el plano es paralelo a la base.

La primera definición de sección cónica aparece en Grecia, cerca del año 350, donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Pérgamo.

A continuación vamos a ver definir las secciones cónicas como lugares geométricos de puntos del plano.

Las cónicas como lugares geométricos

Circunferencia

La circunferencia de centro O\, y radio r\,, es el lugar geométrico de los puntos P\,, del plano, cuya distancia al centro es r\,.

d(P,O)=r\,

ejercicio

Actividad interactiva: Circunferncia


Actividad 1: Trazado de la circunferencia.

Par más detalles consulta el tema de la circunferencia.

Elipse

Dados dos puntos F\, y F'\, llamados focos, y una distancia k\,, llamada constante de la elipse (k > d(F,F')\,), se llama elipse al lugar geométrico de los puntos P\, del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a k\,:

d(P,F)+d(P,F')=k\,

ejercicio

Actividad interactiva: Elipse


Actividad 1: Trazado de la elipse.

Par más detalles consulta el tema de la elipse.

Hipérbola

Dados dos puntos F\, y F'\, llamados focos, y una distancia k\,, llamada constante de la hipérbola (k < d(F,F')\,), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos P\, del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a k\,:

|d(P,F)-d(P,F')|=k\,

ejercicio

Actividad interactiva: Hipérbola


Actividad 1: Trazado de la hipérbola.

Par más detalles consulta el tema de la hipérbola.

Parábola

Dados un punto F\, llamado foco, y una recta d\,, llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos P\, del plano que equidistán del foco y de la directriz:

d(P,F)=d(P,d)\,

ejercicio

Actividad interactiva: Parábola


Actividad 1: Trazado de la parábola.

Par más detalles consulta el tema de la parábola.

Ecuaciones de las cónicas

A partir de las ecuaciones de los lugares geométricos anteriormente vistas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \,

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:

  • Hipérbola: si h^2>ab\,
  • Parábola: si h^2=ab\,
  • Elipse: si h^2<ab\,
  • Circunferencia: si h=0\, y a=b\,

Excentricidad de una cónica

La excentricidad e\, de una cónica es un parámetro que determina el grado de desviación de la cónica con respecto a una circunferencia.

Valores de la excentricidad de las cónicas:

  • Circunferencia: e=0\,.
  • Elipse: 0<e<1\,.
  • Parábola: e=1\,.
  • Hipérbola: e>1\,.
    

Las órbitas de los planetas y de los cometas:

  • Los planetas tienen órbitas elípticas, siendo uno de sus focos el Sol, con excentricidad casi nula (muy parecidas a una circunferencia). La excentricidad de la tierra es 0,017.
  • Las órbitas de los cometas son elípticas, muy excéntricas (muy alargadas), algunas incluso son parabólicas e hiperbólicas.
    • Los cometas de órbitas parabólicas y más los de órbitas hiperbólicas, debemos considerarlos como astros sólo visibles una vez, a menos que durante su trayecto por el interior del sistema Solar pasen por la proximidad de un astro de gran masa, como Júpiter, y que, por efecto de su gran fuerza atractiva, o capture, transformando su primitiva órbita abierta en una elipse y, por lo tanto, obligándole a dar vueltas alrededor del Sol.
    • La sección cónica que exhibe una órbita depende de su energía total. Si la energía total del sistema es negativa, entonces la órbita es ligada y asumirá una conformación elíptica. Ahora, si es exactamente igual a cero, la órbita será desligada y tendrá una forma parabólica. Si la energía es positiva, la órbita será también desligada y seguirá una hipérbola.
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