Las matemáticas en el siglo XX

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El siglo XX vió como las matemáticas se conconvierten en una profesión importante. Cada año, se concedían miles de nuevos doctorados en matemáticas, y había puestos de trabajo disponibles en la enseñanza y la industria. En siglos anteriores, hubo pocos matemáticos creativos en el mundo. En su mayor parte, fueron matemáticos de familias adineradas, como Napier, o apoyados por ricos mecenas, como Gauss. Unos pocos, como Fourier, con escasos medios de subsistencia se ganaban la vida con la enseñanza en las universidades. Niels Henrik Abel, incapaz de obtener una posición, murió en la pobreza, de desnutrición y tuberculosis a la edad de veintiséis.

Durante el siglo XX, el grueso de las matemáticas conocida creció a un ritmo exponencial, de modo que en esta sección se mencionaran sólo algunos de los descubrimientos más importantes. En 1900 en un discurso ante el Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbert estableció una lista de 23 problemas sin resolver en matemáticas. Estos problemas, que abarcan muchas áreas de las matemáticas, fueron el centro de atención de muchos matemáticos durante gran parte del siglo XX. Hoy en día, 10 de ellos se han resuelto, 7 están parcialmente resueltos, y 2 aún están abiertos. Los 4 restantes estan demasiado vagamente formulados para ser considerados como resueltos o no.

Famosas conjeturas históricas fueron finalmente demostradas. En 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Appel usaron una computadora para demostrar el teorema de los cuatro colores. Andrew Wiles, basándose en la base de la labor de otros, demostró el Último Teorema de Fermat en 1995. Paul Cohen y Kurt Gödel demostraron que la hipótesis del continuo es independiente de (no puede ser probado ni refutado de) de los axiomas de la teoría de conjuntos.

Tuvieron lugar colaboraciones de un tamaño y ámbito sin precedenteso. Un ejemplo famoso fue la clasificación de los grupos finitos simples (también llamado el "enorme teorema"), cuya prueba entre 1955 y 1983 requirió de 500 artículos de revistas de unos 100 autores, y su rellenar decenas de miles de páginas. Un grupo de matemáticos franceses, entre ellos Jean Dieudonné y André Weil, publicando bajo el seudonimo de "Nicolas Bourbaki", trataron de exponer todas las matemáticas conocidas como un todo coherente y riguroso. El resultado, varias decenas de volúmenes que han tenido una controvertida influencia en la educación de las matemáticas.

Nuevas áreas de la matemática como la lógica matemática, la topología, la teoría de la complejidad y la teoría de juegos y cambiaron el tipo de preguntas que podrían ser respondidas por los métodos matemáticos.

Asimismo, se hicieron grandes descubrimientos acerca de las limitaciones de las matemáticas. En 1929 y 1930, se descubrió la verdad o falsedad de todos los enunciados formulados acerca de los números naturales más uno de adición y multiplicación, era decidible, es decir, podía ser determinado mediante un algoritmo. En 1931, Kurt Gödel encontró que este no era el caso de los números naturales, tanto más de la suma y la multiplicación; este sistema, conocido como la aritmética de Peano, era en realidad incompleto. (La aritmética de Peano es adecuada para una buena parte de la teoría de los números, incluida la noción de número primo.) Una consecuencia de los dos teoremas de incompletitud de Gödel es que en cualquier sistema que incluya la aritmética de Peano (incluidos todos los del análisis y la geometría), existen enunciados ciertos que no se pueden demostrar dentro del sistema. De ahí que las matemáticas no puedan reducirse a la lógica matemática, y que muriese el sueño de David Hilbert de hacer todas las matemáticas completas y coherentes.

Una de las figuras más coloristas de las matemáticas del siglo XX fue Aiyangar Srinivasa Ramanujan (1887-1920) que, a pesar de ser en gran medida auto-didacta, hizo conjeturas o demostró más de 3000 teoremas, incluyendo propiedades de los números altamente compuestos, la función partición y su comportamiento asintótico, y las "funciónes mock theta". También hizo importantes descubrimientos en los campos de las funciones gamma, las formas modulares, las series divergentes, las series hipergeometricas y la teoría de los números primos.

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