Máximo común divisor (2º ESO)

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Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de todos los divisores comunes a esos números.

ejercicio

Propiedades


  • Si a\; es múltiplo de b\;, entonces m.c.d.(a,b)=b\;.
  • Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del m.c.d.
  • Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número, entonces su m.c.d también queda multiplicado o dividido por el mismo número.
  • Dados dos números naturales, a\; y b\;, se cumple:
m.c.m.(a,b) \cdot m.c.d (a,b)=a \cdot b

Cálculo del máximo común divisor

Ya sabemos encontrar todos los divisores de un número. Ahora nos interesa hallar un divisor en concreto. Queremos, de entre todos los divisores comunes a varios enteros, el mayor de ellos.

Y, ¿por qué el mayor?, ¿por qué un divisor común a varios números?, ¿para qué sirve esto?. Lo cierto es que el cálculo del máximo común divisor será muy útil para resolver problemas de divisibilidad en los que intervengan varios números. De ahí lo de común y lo de divisor. ¿Y por qué el mayor y no, por ejemplo, el menor? Piensa detenidamente... ¿Qué número es divisor de cualquier entero?. Efectivamente, el 1. ¿Crees que hay divisores menores que 1?

Una primera solución para encontrar el máximo común divisor de varios números podría ser calcular los divisores de cada uno de ellos y comprobar cuál es el mayor de los divisores comunes. A este método lo llamaremos "método artesanal".

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Procedimiento artesanal


Para calcular el máximo común divisor de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

  1. Averiguaremos todos los divisores de dichos números.
  2. De los divisores comunes (los que se repitan en todos) cogeremos el mayor.

Pero el método artesanal no es adecuado para números grandes pues requeriría muchos cálculos. Hay otro método basado en la factorización que es mucho más rápido. Lo llamaremos "método óptimo".

Sabemos que los divisores de un número son una combinación de algunos de sus factores primos. Por tanto, si queremos un divisor común a varios números, tendremos que tomar factores primos comunes a todos ellos. Si además queremos que sea el mayor de todos los divisores comunes, tendremos que tomar todos los factores que sean comunes.

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Procedimiento óptimo


Para obtener el m.c.d. de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

  1. Se descomponen los números en factores primos.
  2. Se toman los factores comunes con menor exponente.
  3. Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d.



Algoritmo de Euclides

ejercicio

Proposición


Sean a\; y b\;, (a \ge b)\;, dos números naturales, entonces se cumple que:

m.c.d.(a,b)=m.c.d.(b,r)\;

donde r\; es el resto de la división de a\; entre b\;.

Apoyándonos en el resultado anterior tenemos el siguiente algoritmo para el cáculo del m.c.d. de dos números.

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Algoritmo de Euclides


El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m.c.d. de dos números. Los pasos son:

Se divide el número mayor entre el menor.

  1. Si la división es exacta, el divisor es el m.c.d.
  2. Si la división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m.c.d.

Números primos entre sí

Dos o más números son primos entre sí o coprimos, si su m.c.d. es 1, es decir, no tienen divisores comunes salvo la unidad.

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Propiedades


  • Si a y b son primos entre sí, entonces m.c.m.(a,b)=a · b.
  • Si se dividen varios números por su m.c.d., los cocientes resultantes son primos entre sí.

Problemas

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Problema resuelto: m.c.d.


En un almacén quieren envasar, para su distribución, 200 kg de manzanas y 260 kg de de naranjas, en cajones del mismo peso y de la mayor carga que sea posible. ¿Cuántos kilos deben poner en cada cajón?

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Máximo común divisor


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1; 2a,c,e; 3a,c,e; 4

2b,d,f; 3b,d,f

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