Método de Gauss

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Método reducción de Gauss

El método de Gauss que se debe al matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes ( A^*\; ) en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas, ..., y la primera todas las incógnitas.

Las operaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar el sistema inicial en otro equivalente son las siguientes:

  • Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.
  • Sumarle o restarle a una fila otra fila.
  • Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.
  • Cambiar el orden de las filas.
  • Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente.
  • Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras.
  • Eliminar filas nulas (0 0 0 ... 0).

ejercicio

Ejemplo: Método de reducción de Gauss


Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

\left\{ \begin{matrix}     x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3     \\     x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1     \\     x \, - \, y \, - \, z & = & -1   \end{matrix} \right.

ejercicio

Video: Gauss, el príncipe de las matemáticas (22´)


Discusión de sistemas

Después de realizar las transformaciones que se consideren pertinentes, se obtendrá un sistema escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas (0 0 0 ... 0), que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con n incógnitas. Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo:

Sistema incompatible (S.I.)

Si alguna de las ecuaciones es del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.

Sistema compatible determinado (S.C.D.)

Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y además k = n, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.

Sistema compatible indeterminado (S.C.I.)

Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b y k < n, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales. Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene k ecuaciones, las k primeras incógnitas serán las principales y las n - k restantes serán las no principales que pasaremos al segundo miembro como parámetros.

ejercicio

Actividades Interactivas: Método de Gauss


1. Discusión y resolución de sistemas por el método de Gauss.

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