Medida de la correlación (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Centro de gravedad de una distribución bidimensional
2 Covarianza
3 Coeficiente de correlación
- 3.1 Propiedades del coeficiente de correlación
4 Calculadora

En el apartado anterior hemos visto de manera intuitiva como puede ser la correlación ente dos variables dependiendo del agrupamiento de los puntos de la nube en torno a una recta. Ahora vamos a ver cómo se puede cuantificar dicha correlación mediante un parámetro que denominaremos coeficiente de correlación.

En lo que sigue, consideraremos una distribución bidimensional de cuyas variables $\;(X,Y)$ tenemos $\;n$ valores observados:

$\{ \,(x_1, y_1), (x_2,y_2),...,(x_n,y_n) \,\}$

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Centro de gravedad de una distribución bidimensional

Llamaremos centro de gravedad de la distribución al punto $(\overline{x} , \overline{y})$ cuyas coordenadas son las medias de las distribuciones unidimensionales de X e Y:

$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \qquad \overline{y}=\frac{\sum_{i=1}^n y_i}{n}$

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Covarianza

Se llama covarianza de la distribución al parámetro:

$\sigma_{xy}=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i}{n}-\overline{x} \cdot \overline{y}$

Covarianza

Tutorial (7'59") Sinopsis:

Covarianza correspondiente a una muestra bidimensional:

Fórmulas para su cálculo.
Interpretación de su signo.
Interpretación en la nube de puntos.

Ejercicio 1 (9'31") Sinopsis:

Determina la covarianza de una muestra de 7 familias en las que se observa el número de hijos y el número de aseos en la vivienda.

Ejercicio 2 (7'14") Sinopsis:

Determina la covarianza de una muestra de 6 estudiantes en los que se observa la calificación en Matemáticas y en Física.

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Coeficiente de correlación

Llamaremos coeficiente de correlación entre las dos variables al parámetro:

$r= \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$

donde $σ x y$ es la covarianza y $σ x,σ y$ son las desviaciones típicas de las distribuciones unidimensionales de X e Y:

$\sigma_x=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n}-\overline{x}^2} \qquad \sigma_y=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n y_i^2}{n}-\overline{y}^2}$

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Propiedades del coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación tiene las siguientes propiedades:

No tiene dimensiones, es decir, no depende de las unidades en las que vengan dadas las variables.
Está comprendido entre -1 y 1: $|r| \le 1$
Cuanto más fuerte sea la correlación más próximo a 1 estará $|r| \,$ y cuanto más débil sea la correlación más próximo a 0 estará $|r| \,$ .
Si $|r|>0 \,$ la correlación será positiva y si $|r|<0 \,$ la correlación será negativa.

Coeficiente de correlación

Tutorial (6'39") Sinopsis:

Coeficiente de correlación de una muestra bidimensional:

Fórmulas para su cálculo.
Interpretación de su signo e interpretación en la nube de puntos.
Propiedades del coeficiente de correlación. Dependencia estadística débil o fuerte.

Ejercicio 1 (10'38") Sinopsis:

Determina el coeficiente de correlación de una muestra de tamaño 9.

Ejercicio 2 (7'04") Sinopsis:

Determina el coeficiente de correlación de una muestra de tamaño 9.

Ejercicio 3 (7'17") Sinopsis:

Determina el coeficiente de correlación de una muestra de tamaño 9.

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Calculadora

Calculadora: Modo Regresión Lineal (REG / Lin)

Para calcular los parámetros de distribuciones bidimensionales primero deberemos establecer en la calculadora el modo "Regresión Lineal" mediante la secuencia de teclas:

$2 \quad 1$

Calculadora: Modo básico (COMP)

Cuando se desea retornar la calculadora al modo "básico" tras haber trabajado en otro modo (p.e. el modo "Regresión Lineal") deberemos teclear la secuencia:

$1 \,$

Calculadora: Borrado de la memoria estadística (SCL: Statistical Clear)

Para trabajar con variables estadísticas bidimensionales primero deberemos borrar los posibles datos estadísticos que hubiese en memoria mediante la secuencia de teclas:

$1 \,$

Calculadora: Introducción de los datos para el estudio de una distribución bidimensional

Primero deberemos establecer el modo (REG / Lin) y borrar la memoria (SCL) como se ha explicado más arriba.

Para introducir una lista de pares $(x,y)\,$ correspondientes a los datos de una variable bidimensional, introduciremos primero el valor $x \,$ seguido de la tecla , seguido del valor $y \,$ y terminando con la tecla .

A continuación repetiríamos el proceso con los siguientes pares de números. Si algún par se repite un número $n \,$ de veces, después del valor $y \,$ y antes de pulsar

, deberemos teclear

seguido de la frecuencia $n \,$ .

Ejemplo:

Operación: Introduce los siguientes 8 datos observados de una distribución bidimensional:

(X,Y)={(3,2),(2,2),(5,6),(1,3),(7,6),(7,6),(2,4),(4,4}

Observa que el par (7,6) aparece con frecuencia 2.

Procedimiento:

$3 \,$ $2 \,$
$2 \,$ $2 \,$
$5 \,$ $6 \,$
$1 \,$ $3 \,$
$7 \,$ $6 \,$ $2 \,$
$2 \,$ $4 \,$
$5 \,$ $4 \,$

Solución: Al terminar de introducir los datos nos debe aparecer en pantalla $n=8\,$ , que es el número de datos introducidos. Si cometemos algún error, podemos movernos hacia arriba o hacia abajo con la tecla de movimiento del cursor, que es la tecla grande central, y corregir los datos erroneos. Tras corregir cada dato deberemos pulsar la tecla para que tome el nuevo valor.

Calculadora: Obtención de los parámetros estadísticos en de una distribución bidimensional

Suponiendo que ya hemos introducido los datos de una distribución bidimensional (X,Y):

a) Para obtener $\overline {x}$ (media de la variable unidimensional X) teclearemos

$1 \,$

b) Para obtener $\overline {y}$ (media de la variable unidimensional Y) teclearemos

(cursor derecha) $1 \,$

c) Para obtener $\sigma_{x}\,$ (desviación típica de la variable unidimensional X) teclearemos

$2 \,$

d) Para obtener $\sigma_{y}\,$ (desviación típica de la variable unidimensional Y) teclearemos

(cursor derecha) $2 \,$

e) Para obtener $\sum {xy}$ (suma de los productos) teclearemos

(cursor derecha) $3 \,$

f) Para obtener $n \,$ (número de datos observados) teclearemos

$3 \,$

g) Para obtener $r \,$ (coeficiente de correlación) teclearemos

(cursor derecha 2 veces) $3 \,$

Nota: La covarianza $\sigma_{xy}\,$ no se puede obtener directamente de la calculadora, hay que obtenerla a partir de la fórmula $\sigma_{xy}=\frac{\sum{xy}}{n}-\overline{x} \cdot \overline{y}$