Plantilla:Ecuaciones bicuadradas

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Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

Resolución de la ecuación bicuadrada

El método para resolver una ecuación bicuadrada

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

consiste en hacer el cambio de variable $x^2=y\,\!$ . Entonces, nos quedará la siguiente ecuación de segundo grado en "y".

$ay^2 + by + c = 0 \,\!$

Una vez resuelta esta ecuación en "y", tenemos que averiguar el valor de la "x". Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo $x=\pm \sqrt{y}$ . En consecuencia, las soluciones $y<0\,\!$ , las rechazaremos, ya que no darán solución para la $x\,\!$ , quedándonos sólo con las soluciones de $y\,\!$ no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la $x\,\!$ .

En consecuencia, una ecuación bicuadrada tendrá, como máximo, cuatro soluciones reales.

Ejercicios resueltos: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0\;\!$

b) $x^4 - 2x^2 - 3 = 0\;\!$

c) $x^4 - 5x^2 = 0 \;\!$

Solución:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-10y+9=0$

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{2}=\frac{10 \pm 8}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}$

Soluciones: $-1,\, 1,\, -3,\, 3 \!$

$x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-2y-3=0$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2 \pm 4}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-1 \rightarrow \mbox {No existe solucion para x} \\ y=3 \rightarrow x= \pm \sqrt 3 \end{cases}$

Soluciones: $-\sqrt 3,\, \sqrt 3\,\!$

$x^4 - 5x^2 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-5y=0$

$y(y-5)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}$

Soluciones: $0,\, -\sqrt 5,\, \sqrt 5\ \!$

Ecuaciones bicuadradas

Actividad: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $x^4-5x^2+4=0 \;$

b) $x^4+3x^2+2=0 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve x^4-5x^2+4=0

b) solve x^4+3x^2+2=0 over the reals

Ecuaciones bicuadradas

Tutorial 1 (5'58") Sinopsis:

Ecuaciones bicuadradas. Ejemplos.

Tutorial 2 (27'27") Sinopsis:

Tutorial que explica de forma completa la resolución de ecuaciones bicuadradas, resolviendo muchos ejercicios desde muy sencillos, para entender mejor la estrategia a seguir, hasta más completos.

00:00 a 04:55: Conceptos teóricos de la resolución de ecuaciones de grado mayor que 2. Método de Factorización.
04:55 a 27:27: Ejercicios de ecuaciones bicuadradas o que pueden resolverse con este método.