Plantilla:Límites peligrosos

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Vamos a considerar que un límite es "peligroso" o difícil de calcular, si la función en dicho punto no está definida y, por tanto, no podemos aplicar la propiedad de que el valor del límite en un punto en el que la función es continua coincide con el valor de la función en dicho punto.

Límites peligrosos (13'41") Sinopsis:

En este vídeo establecemos el protocolo de actuación cuando al hacer un PL nos encontramos con cualquiera de las siguientes tres situaciones:

Cociente cuyo denominador tiende a 0, pero no así el númerador.
Logaritmo de un número que tiende a 0.
Raíz de índice par de un número que tiende a 0.

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Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

Procedimiento

Cuando el denominador de la función se anula en el punto en el que queremos calcular el límite, nos podemos encontrar con dos situaciones:

El numerador no se anula: entonces calcularemos los límites por la derecha y por la izquierda que podrán ser $+\infty$ ó $-\infty$ . En tal caso el límite podrá no existir (si los límites laterales no coinciden) o podrá der $+\infty$ ó $-\infty$ (si los límites laterales coinciden).
El numerador también se anula: entonces tendremos una indeterminación del tipo 0/0. Para resolverla haya que recurrir a técnicas especiales. El caso en el que la función sea racional lo trataremos más adelante.

Ejemplo: Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

Calcula el valor de los siguientes límites:

a) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{sen \,x}$ b) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{sen \,x}$

Solución:

a) No existe el límite porque:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{sen \,x}=+ \infty$ , ya que el denominador tiende a

0 +

$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{sen \,x}=- \infty$ , ya que el denominador tiende a

0 -

Para calcular esos límites se debe recurrir a una tabla de valores con valores cercanos a 0 por la derecha y por la izquierda.

b) El numerador y el denominador tienden a 0 (a esto se le llama una "indeterminación del tipo 0/0"). Usando la calculadora (no tenemos otra herramienta, de momento, para este caso), se puede comprobar que:

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{sen \,x}=1$

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:L%C3%ADmites_peligrosos"

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