Plantilla:Método de Gauss (1ºBACH)

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales n x m (n ecuaciones y m incógnitas) en el que cada ecuación tiene sus términos ordenados por incógnitas y las ecuaciones organizadas por filas. Este sistema se dice que es escalonado si la ecuación de la fila n carece, al menos, de las n - 1 primeras incógnitas. Si además tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas (n = m), el sistema se dice que es escalonado triangular.

El método de Gauss, que se debe al matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales n x m que generaliza al método de reducción usado para sistemas 2 x 2. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado, por tanto, más fácil de resolver.

Los criterios de equivalencia de sistemas nos dicen las "operaciones" que podemos realizar sobre las ecuaciones del sistema inicial para transformarlo en otro equivalente. Son los siguientes:

• Multiplicar o dividir una ecuación por un número real distinto de cero.
• Sumar o restar a los dos miembros de una ecuación la misma expresión.
• Sumarle a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número. (Como caso particular: Sumarle o restarle a una ecuación otra ecuación)
• Cambiar el orden de las ecuaciones.
• Cambiar el orden de las incógnitas del sistema.
• Eliminar ecuaciones nulas (0=0).
• Eliminar una ecuación que sea idéntica o proporcional a otra.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, caso de tenerla, saber si ésta es única.

• Si el sistema no tiene solución, diremos que es un sistema incompatible (S.I.)
• Si el sistema tiene solución, diremos que es un sistema compatible (S.C.)
  • Si la solución es única, diremos que es un sistema compatible determinado (S.C.D.)
  • Si la solución no es única, diremos que es un sistema compatible indeterminado (S.C.I.)

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales n x m, que tras realizar las transformaciones oportunas está escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado las filas nulas, si las hubiera, que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con m incógnitas, con . Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo:

• Sistema incompatible (S.I.): Si alguna de las ecuaciones que quedan son del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.

Ejemplo:  [Mostrar]

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Consideremos el siguiente sistema:

Operamos de la siguiente manera:

• 
• 

Ahora operamos con la última ecuación para terminar de escalonar:

• 

que es equivalente al inicial.

El sistema es incompatible pués la tercera ecuación es absurda.

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• Sistema compatible determinado (S.C.D.): Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b (con b distinto de cero), y además k = m, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.

Ejemplo:  [Mostrar]

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Consideremos el siguiente sistema:

Reordenamos las ecuaciones y las incógnitas de la siguiente manera:

• 
• 

Operamos con la primera y tercera ecuación:

• 

Intercambiamos las incógnitas de la segunda y tercer columna:

• 

Operamos con la segunda y tercera ecuación:

• 

De la tercera ecuacion tenemos el valor .

En la segunda ecuación, sustituimos , para obtener .

Y, finalmente, en la primera ecuación sustituimos y , para hallar .

Así tenemos que la solución del sistema de ecuaciones inicial es:

Se trata, por tanto, de un sistema con una única solución, un S.C.D. (sistema compatible determinado).

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• Sistema compatible indeterminado (S.C.I.): Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y además k < m, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas o "variables principales" de las no principales (también llamadas "variables libres"). Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Las podemos elegir como queramos aunque podemos dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene k ecuaciones, las k últimas incógnitas serán las "principales" y las m - k primeras serán las "libres", que pasaremos al segundo miembro como parámetros. No obstante, este criterio puede variarse según convenga.

Ejemplo:  [Mostrar]

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Consideremos el siguiente sistema:

Intercambiamos la fila 1 con la 2; y la columna 1 con la 2;

• 
• 

Operamos de la siguiente manera:

• 
• 

Operamos con las filas 2 y 3:

• 

Eliminamos la tercera fila por ser del tipo 0=0:

Simplificamos por 5 la segunda ecuación:

• 

Es un sistema escalonado sin ecuaciones del tipo 0=0 ó 0=b (con b no nulo), con k=2 ecuaciones y m=3 incógnitas, por lo que tendremos 3-2=1 parámetro. Usaremos como parámetro, por ejemplo, la incógnita z, por lo que tendremos que expresar las otras incógnitas en función de z.

Sustituyendo el valor x = 2 en la primera ecuación, nos queda:

Despejando y :

Así, las soluciones del sistema, expresadas en función del parámetro z, son:

Para cada valor del parámetro z se obtiene una solución del sistema. Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones y se trata de un sistema compatible indeterminado.

Para enfatizar que z es un parámetro, éste suele sustituirse por otra letra, por ejemplo λ, aunque no es obligatorio. Así, la expresión paramétrica de la solución del sistema quedaría:

También pueden expresarse las soluciones del sistema mediante ternas de números reales:

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Consideremos un sistema de ecuaciones lineales n x n. En el método de Gauss realizabamos una triangulación superior del sistema de ecuaciones lineales, haciendo ceros por debajo de la diagonal. Si continuamos el método de Gauss haciendo ceros en la parte superior de la diagonal, conseguiremos un sistema equivalente cuyas ecuaciones tienen una sola incógnita (la de la diagonal). A este método se le conoce como método de Gauss-Jordan, pues debe su nombre a los matemáticos Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm Jordan.

Discutir un sistema de ecuaciones lineales con parámetros consiste en determinar el valor de los parámetros que hacen que el sistema sea S.C.D., S.I. o S.C.I.