Plantilla:Problemas de optimización

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Un problema de optimización es aquél en el que se pretende averiguar el máximo o el mínimo de una magnitud dada.

Por ejemplo, encontrar el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance...

Procedimiento

Identifica todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.
Escribe una ecuación primaria para la magnitud que debe hacerse máxima o mínima.
Reduce la ecuación primaria a una ecuación que sólo tenga una variable independiente. Este paso te puede exigir el utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. (Las despejas en las secundarias y las sustituyes en la primaria)
Fija el dominio de la ecuación primaria. Ésto es, determina el rango de valores para los que tiene sentido el problema planteado.
Obtén el valor máximo o mínimo solicitado mediante el estudio de los ceros y del crecimiento de la función derivada.

Optimización

Tutorial 1a (16'20") Sinopsis:

Introducción a los problemas de optimización.
Ejemplos.

Tutorial 1b (14'23") Sinopsis:

Problemas de optimización. Ejemplos

Tutorial 2 (09'03") Sinopsis:

Introducción a los problemas de optimización.
Ejemplo 1: Hallar el punto de la parábola $y=\cfrac{x^2}{4}$ más próximo al punto (-1,2).
Ejemplo 2: Hallar el punto de la curva $y^2=4x\,$ más próximo al punto (2,-1).

Ejercicio 1 (17'38") Sinopsis:

Problemas de optimización.

Ejercicio 2a (03'52") Sinopsis:

Determina el punto Q de la parábola $y=x^2\;$ más próximo al punto P(3,0).
Comprueba que la recta QP es perpendicular a la tangente a la parábola en Q.

Ejercicio 2b (04'06") Sinopsis:

De todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, -3), determina la que forma un triángulo de área mínima con la parte positiva del eje de abscisas y la negativa del eje de ordenadas.

Ejercicio 3 (7'11") Sinopsis:

El coste total (en miles de pesos) de pedido y almacenaje de x automóviles es

$C(x)=4x+720+\cfrac{921600}{x}$

Determina el tamaño del pedido que minimiza el coste total.

Ejercicio 4 (13'47") Sinopsis:

Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentra las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, si el perímetro de la misma debe ser 12 metros.

Ejercicio 5 (10'38") Sinopsis:

Se necesita construir una caja sin tapa con una lámina rectangular de largo 24 cm y ancho 12 cm. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado que debe cortarse en cada esquina para maximizar el volumen de la caja? ¿Cuál es el valor de dicho volumen máximo?.

Ejercicio 6 (11'59") Sinopsis:

Optimización del área impresa de un folio bajo ciertas condiciones.

Actividades interactivas: Problemas de optimización

Problema 1: Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base (lado desigual) mide 8 cm y la altura correspondiente 3 cm (suponiendo que un lado del rectángulo está sobre la base del triángulo).

Solución:

Solución al problema 1 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 2: Queremos construir una caja (sin tapa), a partir de una cartulina cuadrada de 6 dm de lado, a la que se recortarán las esquinas. Hallar las dimensiones de las citadas esquinas para que el volumen de la caja sea máximo.

Solución:

Solución al problema 2 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.

Problema 3: Queremos construir una lata de un tercio de litro de capacidad.

¿Cuáles serán las dimensiones de la lata más barata (en cuanto a superficie de hojalata)?.

Solución:

Solución al problema 3 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 4a: De todas las rectas que pasan por el punto (1,2), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Problema 4b: De todas las rectas que pasan por el punto (a,b), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Solución:

Solución al problema 4a Descripción:

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Solución al problema 4b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 5: Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a ese lado de 5 cm. Encontrar un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima.

Solución:

Solución al problema 5 Descripción:

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Problema 6: Dada la función definida en el intervalo [1,e] por $f(x)=\cfrac{1}{x} + ln \, x$ , determina cuáles de las rectas tangentes a su gráfica tiene la máxima pendiente.

Solución:

Solución al problema 6 Descripción:

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Problema 7a: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. ¿Cuál debe ser la longitud de esa cuerda para que el área del trapecio ABDC sea máxima?

Problema 7b: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. Llamamos E al punto medio del arco CD y dibujamos el pentágono ACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima.

Solución:

Solución al problema 7a Descripción:

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Solución al problema 7b Descripción:

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Problema 8a: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y corre por la arena a 10 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Problema 8b: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a v1 km/h y corre por la arena a v2 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Solución:

Solución al problema 8a Descripción:

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Solución al problema 8b Descripción:

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Problema 9a: Divide el número 8 en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

Problema 9b: Divide el número n en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

(Este es uno de los problemas que Ferrari puso a Tartaglia en su histórico duelo de problemas)

Solución:

Solución al problema 9a Descripción:

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Solución al problema 9b Descripción:

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