Plantilla:Término general de una progresión geométrica

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ejercicio

Término general de una progresión geométrica

El término general, a_n\;\!, de una progresión geométrica de razón r\;\! es:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Demostración:

En efecto, de forma intuitiva:

a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!

a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r \cdot r = a_1 \cdot r^2 \;\!

a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \;\!

........................

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Demostración por el método de inducción completa:

Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.

Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:

a_1 = a_1 \cdot r^{1-1} = a_1 \cdot r^0 = a_1

con lo que queda comprobada para n=1.

Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}.    [1]

Por ser una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando por r el anterior término:

a_{n+1}=a_n \cdot r \;    [2]

Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:

a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n \cdot r \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r =a_1 \cdot r^{((n+1)-1)}

Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.

video
Progresiones geométricas
Tutorial 1 (6´24")     Sinopsis:
  • Definición de progresión geométrica.
  • Término general
  • Ejemplos
Tutorial 2 (19'06")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabajan las progresiones geométricas, la ley de recurrencia y el término general que las genera, así como alguna de sus propiedades básicas.

Tutorial 3 (12'34")     Sinopsis:

Término general de una progresión geométrica: Obtención y ejemplos.

Tutorial 4 (11'41")     Sinopsis:
  • Definición de progresión geométrica.
  • Ejemplos.
  • Término general de una progresión geométrica.
Ejercicio 1 (2´46")     Sinopsis:

Una progresión geométrica tiene como término general a_n=3 \cdot \left(-\cfrac{2}{3}\right)^{n-1}, halla el término a_5\;.

Ejercicio 2 (8´32")     Sinopsis:

Halla el término general y la forma recursiva de la siguiente progresión geométrica: {168, 84, 42, , 21, ...}.

Ejercicio 3 (6´39")     Sinopsis:

Halla la fórmula recursiva a partir del término general g_n=9 \cdot 8^{n-1}\;.

Problema 1 (9´35")     Sinopsis:

Problema sobre progresiones geométricas.

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Término general de una progresión geométrica
Actividad 1     Descripción:

Actividades en las que aprenderás a obtener el término general de una progresión geométrica.

Actividad 2     Descripción:

Progresiones geométricas.

Autoevaluación 1     Descripción:

Usa el término general de una progresión geométrica.

Autoevaluación 2     Descripción:

Halla el término general de una progresión geométrica.

Autoevaluación 3     Descripción:

Convertir formas recursivas y explícitas de sucesiones geométricas.

Autoevaluación 4     Descripción:

Problemas verbales con progresiones geométricas.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Progresión geométrica

En una progresión geométrica de términos positivos, a_1=3\; y a_3 = 6\;. Halla a_n\;, a_{20}\; y a_{21}\;.

Solución:

a_3=a_1 \cdot r^2 \rightarrow 6 = 3 \cdot r^2 \rightarrow r^2=\cfrac{6}{3}=2 \rightarrow r=\pm \sqrt{2}

Como la progresión es de términos positivos, sólo nos vale el valor posivo: r=\sqrt{2}.

a_n= a_1 \cdot r^{n-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{n-1}

a_{20} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{20-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{19} = 3 \cdot 2^9 \cdot \sqrt{2} =1536 \sqrt{2}

a_{21} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{21-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{20} = 3 \cdot 2^{10} =3072

Autoevaluación: Término general de una progresión geométrica     Descripción:

Encuentra el término general de una progresión geométrica dada.

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