Plantilla:Tipos de discontinuidades
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Continuidad de una función en un punto. Tipos de discontinuidades
Ejemplos de los distintos tipos de discontinuidad.
Ejemplos gráficos de los distintos tipos de discontinuidad.
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto si existe pero éste no coincide con , bien porque no esté definida en o bien porque simplemente sean distintos.
Discontinuidad evitable
Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco), pero
| Evitable (punto desplazado que deja un hueco), pero
|
Ejemplo: Discontinuidad evitable
Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad evitable:
- a) b)
a) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.
b) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.
Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:
En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
La función "f" presenta "discontinuidad evitable" en el punto "a" si tiene límite finito en "a" pero no coincide con f(a). El términos geométricos significa que la gráfica de "f" tiene un "agujerito" en "a". Se "evita" la discontinuidad "rellenando" el agujerito; y para ello basta redefinir "f" de modo que f(a) coincida con el límite de "f" en "a".
Ejemplos
Ejercicio de examen para Ministro
Discontinuidad esencial de primera especie
Una función tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto finito en un punto si existen los límites laterales en dicho punto y son finitos, pero estos no coinciden:
Se llama salto al valor absoluto de la diferencia enter ambos límites:
Nota: puede estar definida o no, y puede coincidir o no con uno de los dos límites laterales.
Salto finito (Salto=d-c)
| Salto finito (Salto=d-c)
|
Salto finito (Salto=d-c)
| Salto finito (Salto=d-c)
|
Ejemplo: Discontinuidad de salto finito
Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto finito y averigua el valor del salto:
En x=2 tiene una discontinuidad de salto finito. El salto es igual a | 2 − 1 | = 1.
Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
Una función tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto infinito si existen los límites laterales, siendo uno finito y otro infinito.
Nota: puede estar definida o no, y puede coincidir o no con el límite lateral finito.
Salto infinitoEn este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"
| Salto infinitoEn este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"
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Salto infinitoEn este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"
| Salto infinitoEn este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"
|
Ejemplo: Discontinuidad de salto infinito
Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto ifinito:
En x=0 tiene una discontinuidad de salto infinito.
Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
Una función tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica si si existen los límites laterales, siendo ambos + o - infinito, pero no necesariamente iguales.
Nota: puede estar definida o no.
AsintóticaEn este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo
| AsintóticaEn este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo
|
AsintóticaEn este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo
| AsintóticaEn este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo
|
Ejemplo: Discontinuidad asintótica
Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad asintótica:
- a) b)
a) En x=-2 tiene una discontinuidad asintótica.
b) En x=0 tiene una discontinuidad asintótica.
Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
La función "f" presenta "discontinuidad de primera especie" en el punto "a" si los límites laterales de "f" en "a" son distintos. El términos geométricos significa que la gráfica de "f" da un "salto" en "a".
3 ejercicios sobre discontinuidades de primera especie
3 ejercicios sobre discontinuidades de primera especie
Discontinuidad esencial de segunda especie
Una función tiene una discontinuidad de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales.
Nota: puede estar definida o no.
Segunda especieEs oscilante por ambos lados"f(a)" puede estar definida o no
| Segunda especieEs oscilante por la derecha"f(a)" puede estar definida o no
| Segunda especieEs oscilante por la izquierda"f(a)" puede estar definida o no
|
Ejemplo: Discontinuidad de segunda especie
Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de segunda especie:
En x=0 tiene una discontinuidad de segunda especie.
Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
Algunos autores incluyen dentro de las discontinuidades de segunda especie los siguientes casos:
No hay función a la derecha de a
| No hay función a la izquierda de a
| No hay función ni a la derecha ni a la izquierda de a
|
No obstante, en estos casos, nosotros no diremos que la función sea discontinua en "a". Para explicar esto con rigor es necesario recurrir a la definición formal de continuidad que se verá en cursos posteriores.
Como ejemplo de esto que estamos diciendo tienes el siguiente video:
La función "f" presenta "discontinuidad de segunda especie" en el punto "c" si no existe alguno de los límites laterales de "f" en "c".