Polígonos regulares (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Polígono regular
- 1.1 Elementos de un polígono regular
2 Medida de los ángulos de un polígono regular
3 Ejes de simetría de los polígonos regulares
4 Construcciones con regla y compás

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Polígono regular

Un polígono regular es aquel cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos son iguales.

Polígono regular Descripción:

Actividad sobre polígonos regulares.

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Elementos de un polígono regular

Lado: Cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal cerrada.
Vértice: Cada uno de los puntos comunes a dos lados consecutivos.
Centro: Punto que equidista de todos los vértices. Es el centro de la circunferencia circunscrita.
Apotema: Segmento perpendicular que une el centro con el punto medio de cualquier lado.
Radio: Segmento que une el centro con cualquiera de los vértices del polígono.
Diagonal: Segmento que une cualesquiera dos vértices no contiguos.
Ángulo interior: Cada uno de los menores de 180º que forman dos lados consecutivos.
Ángulo exterior: Ángulo formado por un lado del polígono y la prolongación del lado contiguo.
Ángulo central: Ángulo formado por dos radios consecutivos.

Polígono regular. Elementos Descripción:

Actividades en las que podrás aprender el concepto de polígono regular y a identificar sus elementos.

Circunferencia circunscrita y apotema Descripción:

Actividades sobre la circunferencia circunscrita y la apotema de los polígonos regulares.

Elementos de un polígono regular Descripción:

En esta escena podrás ver los elementos de un polígono regular.

Polígono regular. Elementos (7´12") Sinopsis:

Concepto de polígono regular y ejemplos. Elementos de un polígono regular.

Propiedades

Dos radios consecutivos forman un triángulo isósceles con uno de los lados del polígono regular, siendo su altura la apotema.
La apotema divide al triángulo en dos mitades iguales que son triángulos rectángulos.
En el caso del hexágono regular este triángulo es equilátero.
Todo polígono regular se puede inscribir en una circunferencia que se llama circunferencia circunscrita, cuyo centro y radio son el centro y el radio del polígono.

Demostración:

Las demostraciones son inmediatas. En efecto:

Si el triángulo está formado por dos radios, necesariamente es isósceles.

En el caso del hexágono este triángulo es equilátero porque su ángulo central mide 60º, como podrá verse en la propiedad del siguiente apartado que habla sobre ángulos centrales.

Como la apotema une el centro con el punto medio del lado y el triángulo es isósceles, lo divide en dos mitades iguales. Al se iguales, el ángulo que forma la apotema con el lado ha de ser necesariamente de 90º, que es la mitad de un ángulo llano.

Teniendo en cuenta que todos los radios unen el centro con los vértices, podemos trazar una circunferencia que pase por todos ellos y por tanto el polígono queda inscrito en ella.

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Medida de los ángulos de un polígono regular

Propiedades

La suma de los ángulos interiores de un polígono de $n\,$ lados es igual a $(n-2) \cdot 180^\circ$ .
Si el polígono de lados es regular:
- Cada ángulo interior mide $\cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$ .
- Cada ángulo exterior mide $\cfrac{360^\circ}{n}$ .

Demostración:

Desde un vértice cualquiera del polígono se pueden trazar n-3 diagonales que dividen al polígono en n-2 triángulos. Sumando los ángulos de todos esos triángulos se obtiene la fórmula, ya que la suma de los ángulos de cada triángulo es 180º.

Si además el polígono es regular:
- Al tener todos sus ángulos interiores iguales, cada uno de ellos se obtendrá dividiendo el valor del primer apartado por el número de lados, n.
- Para ver la medida del ángulo exterior restaremos a 180º el ángulo interior:

$180^\circ - \cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{360^\circ}{n}$

Ángulos interiores de un polígono

Tutorial 1 (7´16") Sinopsis:

Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
Ejemplos de aplicación.
Deducción de la fórmula para hallar la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.

Tutorial 2 (3´24") Sinopsis:

Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.

Tutorial 3 (6´13") Sinopsis:

Suma de los ángulos interiores de un polígono.

Tutorial 4 (9´02") Sinopsis:

Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Cálculo de los ángulos interiores de un polígono regular y de su suma.

Tutorial 5 (5´38") Sinopsis:

Ángulos interiores de un cuadrado y de un hexágono regular.

Ejercicio (2´20") Sinopsis:

¿Existe un polígono convexo cuyos ángulos sumen 1440º? Indica su nombre y la cantidad de lados que tiene.

Ángulos exteriores de un polígono regular (1´28") Sinopsis:

Ángulo exterior de un polígono regular

Propiedad: Ángulos centrales

El ángulo central de un polígono regular mide lo mismo que el ángulo exterior y esta medida es $\cfrac{360^\circ}{n}$ .

Demostración:

Es inmediata, ya que un polígono regular de n lados tiene n ángulos centrales iguales y entre todos suman 360º

Ángulo central de un polígono regular (2´28") Sinopsis:

Cálculo del ángulo central de un polígono regular. Ejemplo.

Ángulo central de un polígono regular (1´12") Sinopsis:

Cálculo del ángulo central de un polígono regular. Ejemplo.

Ángulos en los polígonos regulares Descripción:

En esta escena podrás ver los ángulos central, interior y exterior de un polígono regular de hasta 20 lados.

Ángulos en los polígonos regulares Descripción:

Actividades en las que podrás aprender a calcular la medida de los ángulos interiores, centrales y exteriores de un polígono regular.

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Ejes de simetría de los polígonos regulares

Propiedad

Todos los polígonos regulares tienen tantos ejes de simetría como lados.

Ejes de simetría de los polígonos regulares Descripción:

Actividades en las que podrás aprender a averiguar los ejes de simetría de un polígono regular.

Ejes de simetría (3'40") Sinopsis:

¿Qué es un eje de simetría?. Ejes de simetría en los polígonos regulares.

Ejes de simetría de polígonos regulares.

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Construcciones con regla y compás

Construcciones del pentágono y del octógono regular Descripción:

Polígonos regulares inscritos en la circunferencia (16´49") Sinopsis:

Construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia, con regla y compás.

Polígonos regulares conocido el lado (6´12") Sinopsis:

Construcción de polígonos regulares conocido el lado, con regla y compás.

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Categorías: Matemáticas | Geometría

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