Poliedros

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Poliedro

El siguiente videotutorial resume los conceptos y resultados más importantes del tema:

Definición de poliedro

Poliedro es un cuerpo geométrico cerrado, limitado por caras poligonales.

Las caras de un poliedro, al ser polígonos, no pueden ser curvas. Así, un cono, una esfera o un cilindro, no son poliedros.

Elementos de un poliedro

  • Caras: Polígonos que limitan al poliedro.
  • Aristas: Segmentos intersección de las caras.
  • Vértices: Puntos de intersección de las aristas.

Se llama orden de un vértice de un poliedro, al número de caras (o aristas) que concurren en él.

Denominación de los poliedros

Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designación se basa en el griego clásico.

Nombre Nº caras Nombre Nº caras Nombre Nº caras
tetraedro 4 tridecaedro 13 tetracontaedro 40
pentaedro 5 tetradecaedro 14 pentacontaedro 50
hexaedro 6 pentadecaedro 15 hexacontaedro 60
heptaedro 7 hexadecaedro 16 heptacontaedro 70
octaedro 8 heptadecaedro 17 octacontaedro 80
eneaedro 9 octadecaedro 18 eneacontaedro 90
decaedro 10 eneadecaedro 19 hectaedro 100
endecaedro 11 icosaedro 20 chiliedro 1000
dodecaedro 12 triacontaedro 30 miriedro 10000

Tipos de poliedros

Prisma

  • Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos, llamados bases, y por varios paralelogramos, llamados caras laterales.
  • La altura de un prisma es la distancia entre las bases.
  • Las aristas básicas son los lados de los polígonos que forman las bases.
  • Las aristas laterales son las restantes aristas.

Elementos de un prisma
de http://calculo.cc

Clasificación de los prismas

  • Atendiendo a sus bases: En función del polígono de las bases, los prismas pueden ser de base triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.

  • Atendiendo a su inclinación: Si las caras laterales son perpendicualres a las bases (son rectángulos), el prisma es recto, si no , es oblicuo.
  • Atendiendo a su regularidad: Un prisma es regular si su base es un polígono regular. En caso contrario es irregular. En una prisma regular, todas las aristas laterales son iguales y las caras laterales son rectángulos iguales


Atendiendo a su inclinación
de http://calculo.cc

Atendiendo a su base
de http://calculo.cc

Paralelepípedos

  • Los paralelepípedos son prismas en los que todas sus caras son paralelogramos.
  • Las bases han de ser paralelogramos y por tanto los paralelepípedos son prismas cuadrangulares.
  • Entre ellos destacamos cuatro en particular:
    • Ortoedro: sus caras son rectángulos.
    • Cubo: sus caras son cuadrados.
    • Romboedro: Todas sus caras son rombos.
    • Romboiedro: Todas sus caras son romboides.

Ortoedro

  • Un ortoedro es un prisma recto de caras rectangulares.
  • Un caso particular es el cubo, cuyas caras son todas cuadradas.

Ortoedro


Desarrollo plano de un prisma

Si representamos en un plano todas las caras de un prisma, de forma contigua, obtenemos lo que se denomina desarrollo plano del prisma.

Fíjate en el siguiente prisma hexagonal. Si cortásemos adecuadamente el prisma, siguiendo ciertas aristas, podríamos desplegarlo como se muestra en la siguiente figura.


Desarrollo plano de un prisma recto hexagonal regular
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Actividades

Pirámide

  • Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que se denomina vértice de la pirámide.
  • La altura de la pirámide es la distancia del el vértice al plano de la base.
  • Las aristas básicas son los lados del polígono base.
  • Las aristas laterales son las aristas que unen el vértice con la base.

Piramide recta

Clasificación de las pirámides

  • Atendiendo a sus bases: En función del polígono base, las pirámides pueden ser de base triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.

  • Atendiendo a su inclinación: Si la proyección ortogonal del vértice sobre la base coincide con su centro, la pirámide es recta, si no , es oblicua.
  • Atendiendo a su regularidad: Una pirámide es regular si su base es un polígono regular. En caso contrario es irregular. En una pirámide regular, todas las aristas laterales son iguales y las caras laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de cada uno de ellos se llama apotema de la pirámide.
Pirámide oblicua
de http://universoformulas.com


Clasificación de las pirámides atendiendo a su base
de http://calculo.cc


Elementos de una pirámide regular
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Desarrollo plano de una pirámide

Si representamos en un plano todas las caras de una pirámide, de forma contigua, obtenemos lo que se denomina desarrollo plano de la pirámide.

Fíjate en la siguiente pirámide pentagonal. Si la cortásemos adecuadamente, siguiendo ciertas aristas, podríamos desplegarla como se muestra en la siguiente figura.


Desarrollo plano de una pirámide pentagonal regular
de http://calculo.cc

Poliedros simples

Poliedro simple es aquel que no tiene orificios.

Un poliedro simple es el que podría hincharse o deformarse (si el material lo permitiera) hasta formar una esfera.

En la imagen de la derecha tienes un poliedro que no es simple. Al hincharlo, se transforma en un flotador, en vez de en una esfera.

Este poliedro no es simple"

Poliedros regulares

  • Poliedro regular es aquel que cumple:
  1. Sus caras son polígonos regulares iguales.
  2. Todos los vértices tienen el mismo orden.

  • Sólo hay cinco poliedros regulares, los llamados sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Imagen:tetraedro.gif

Tetraedro regular

(4 caras)
Imagen:cubo.gif

Cubo o Hexaedro regular

(6 caras)
Imagen:octaedro.gif

Octaedro regular

(8 caras)
Imagen:dodecaedro.gif

Dodecaedro regular

(12 caras)
Imagen:icosaedro.gif

Icosaedro regular

(20 caras)

Desarrollo plano de los poliedros regulares

Si representamos en un plano todas las caras de un poliedro, de forma contigua, obtenemos lo que se denomina desarrollo plano del poliedro.

Si cortásemos adecuadamente cada uno de los poliedros regulares, siguiendo ciertas aristas, podríamos desplegarlos como se muestra en la imagen adjunta.


Desarrollo plano de los poliedros regulares

Recursos

Actividades

Poliedros convexos y cóncavos

  • Un poliedro es convexo si al dados dos puntos cualesquiera del poliedro, el segmento que los une es interior al poliedro. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice el poliedro es cóncavo.

Son poliedros cóncavos, por ejemplo, los poliedros de Kepler-Poinsot:

Pequeño dodecaedro estrellado

Gran dodecaedro

Gran dodecaedro estrellado

Gran icosaedro

Poliedros duales

Dado un poliedro, al unir mediante segmentos los centros de cada dos caras contiguas, se obtiene otro poliedro que se llama el poliedro dual del dado.

Poliedros regulares y sus duales

El cubo y el octaedro son duales.

El dodecaedro y el icosaedro son duales.

El tetraedro es dual de sí mismo

Poliedros semiregulares

Se llama poliedro semiregular a aquel cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos y tal que en todos los vértices concurren los mismos polígonos.

Son poliedros semiregulares:

Prisma hexagonal regular

Las caras laterales son cuadrados

Antiprisma hexagonal

Las caras laterales son triángulos equiláteros

Fórmula de Euler

En un poliedro simple, se cumple la siguiente relación, llamada fórmula de Euler :

c+v-a=2\;\!

siendo c \, el número de caras, v \, el número de vértices y a \, el número de aristas.

ejercicio

Ejemplo: Fórmula de Euler


Comprueba la fórmula de Euler en los cinco poliedros regulares, e indica el orden de sus vértices.

Puedes ayudarte de la siguiente escena:

Poliedros truncados

Un poliedro truncado es aquel en el que se ha suprimido un vértice cortándolo mediante un plano.

Poliedros regulares truncados

Algunos ejemplos los podemos encontrar entre los llamados sólidos arquimedianos. He aquí dos de ellos:

  • Cuboctaedro: Se obtiene al truncar todos los vértices de un cubo mediante planos que pasan por los puntos medios de las aristas adyacentes. Es un poliedro semiregular con 6 caras que son cuadrados y 8 caras que son triángulos equiláteros.
  • Icosidodecaedro: Se obtiene al truncar todos los vértices de un dodecaedro regular mediante planos que pasan por los puntos medios de las aristas adyacentes. Es un poliedro semiregular con 6 caras que son cuadrados y 8 caras que son triángulos equiláteros.

Cuboctaedro

6 caras son cuadrados

8 caras son triángulos equiláteros

Icosidodecaedro

12 caras son pentágonos regulares

20 caras son triángulos equiláteros

Otros ejemplos, que también son sólidos arquimedianosson:

El cubo truncado, el tetraedro truncado, el octaedro truncado, el dodecaedro truncado y el icosaedro truncado son el resultado de truncar los cinco poliedros regulares o sólidos platónicos mediante planos que un punto adecuado de la arista (que no es su punto medio), de manera que se obtengan poliedros semiregulares.

Cubo truncado

6 caras son octógonos regulares

8 caras son triángulos equiláteros

Tetraedro truncado

4 caras son hexágonos regulares

4 caras son triángulos equiláteros

Octaedro truncado

8 caras son hexágonos regulares

6 caras son cuadrados

Dodecaedro truncado

12 caras son decágonos regulares

20 caras son triángulos equiláteros

Icosaedro truncado

20 caras son exágonos regulares

12 caras son pentágonos regulares

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