Poliedros

• Caras: Polígonos que limitan al poliedro.
• Aristas: Segmentos intersección de las caras.
• Vértices: Puntos de intersección de las aristas.

Se llama orden de un vértice de un poliedro, al número de caras (o aristas) que concurren en él.

Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designación se basa en el griego clásico.

• Atendiendo a sus bases: En función del polígono de las bases, los prismas pueden ser de base triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.

• Atendiendo a su inclinación: Si las caras laterales son perpendicualres a las bases (son rectángulos), el prisma es recto, si no , es oblicuo.
• Atendiendo a su regularidad: Un prisma es regular si su base es un polígono regular. En caso contrario es irregular. En una prisma regular, todas las aristas laterales son iguales y las caras laterales son rectángulos iguales

• Los paralelepípedos son prismas en los que todas sus caras son paralelogramos.
• Las bases han de ser paralelogramos y por tanto los paralelepípedos son prismas cuadrangulares.
• Entre ellos destacamos cuatro en particular:
  • Ortoedro: sus caras son rectángulos.
  • Cubo: sus caras son cuadrados.
  • Romboedro: Todas sus caras son rombos.
  • Romboiedro: Todas sus caras son romboides.

Si representamos en un plano todas las caras de un prisma, de forma contigua, obtenemos lo que se denomina desarrollo plano del prisma.

Si representamos en un plano todas las caras de una pirámide, de forma contigua, obtenemos lo que se denomina desarrollo plano de la pirámide.

• Poliedro regular es aquel que cumple:

1. Sus caras son polígonos regulares iguales.
2. Todos los vértices tienen el mismo orden (en todos ellos concurren el mismo número de aristas).

• Sólo hay cinco poliedros regulares, los llamados sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Si representamos en un plano todas las caras de un poliedro, de forma contigua, obtenemos lo que se denomina desarrollo plano del poliedro.

• Un poliedro es convexo si al dados dos puntos cualesquiera del poliedro, el segmento que los une es interior al poliedro. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice el poliedro es cóncavo.

Dado un poliedro, al unir mediante segmentos los centros de cada dos caras contiguas, se obtiene otro poliedro que se llama el poliedro dual del dado.

Se llama poliedro semiregular a aquel cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos y tal que en todos los vértices concurren los mismos polígonos.

En un poliedro simple, se cumple la siguiente relación, llamada fórmula de Euler :

siendo , el número de caras, , el número de vértices y , el número de aristas.

Puedes ayudarte de la siguiente escena:

Fórmula de Euler en los poliedros regulares     Descripción:

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En esta escena podrás comprobar la fórmula de Euler para los 5 poliedros regulares.

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Un poliedro truncado es aquel en el que se ha suprimido un vértice cortándolo mediante un plano.

• Cuboctaedro: Se obtiene al truncar todos los vértices de un cubo mediante planos que pasan por los puntos medios de las aristas adyacentes. Es un poliedro semiregular con 6 caras que son cuadrados y 8 caras que son triángulos equiláteros.
• Icosidodecaedro: Se obtiene al truncar todos los vértices de un dodecaedro regular mediante planos que pasan por los puntos medios de las aristas adyacentes. Es un poliedro semiregular con 6 caras que son cuadrados y 8 caras que son triángulos equiláteros.

El cubo truncado, el tetraedro truncado, el octaedro truncado, el dodecaedro truncado y el icosaedro truncado son el resultado de truncar los cinco poliedros regulares o sólidos platónicos mediante planos que un punto adecuado de la arista (que no es su punto medio), de manera que se obtengan poliedros semiregulares.