Probabilidad (3ºESO)
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Tabla de contenidos |
Experimentos aleatorios
Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento.
Espacio muestral
Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra E .
Ejemplo: Espacio muestral
El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos
 Ejercicios:Espacio muestral 1.Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar tres monedas. b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.Solución: a) Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral: E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)} b) E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} c) Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos: E={BB,BN,NN} d) Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral: E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)} |
Sucesos
Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E . Para designar cualquier suceso, tambien llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.
Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por S .
Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n
Ejemplo: Sucesos
En el ejemplo anterior, determina los sucesos de E:
a)Salir múltiplo de 5. b)Salir número primo. c)Salir mayor o igual que 10.
a)Salir múltiplo de 5:
b)Salir número primo:
c)Salir mayor o igual que 10:
Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos.
Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del
experimento.
Sucesos compuestos son los que estan formados por dos o más resultados del
experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales.
Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está
formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el
espacio muestral.
Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por
.
Definición de probabilidad
Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli.
Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.
 Actividades Interactivas: Probabilidad
Actividad 1.Ley de los grandes números
Actividad: En esta escena veremos lo que ocurre cuando tiramos una moneda muchas veces. Primero tienes que elegir, en la casilla tiutlada múltiplos de, de cuánto en cuánto tiramos las monedas (de 10 en 10, de 100 en 100, etc.). A continuación, pulsando sobre la flecha azul del control Tiradas, simularemos el lanzamiento de monedas en la cantidad deseada. En cada caso obtendremos la frecuencia relativa de cada suceso, y una gráfica con el número de caras. Prueba con diferentes tiradas y observa el resultado de las frecuencias relativas en cada caso |
Regla de Laplace
Definición de Laplace. En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.
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Video: Las Leyes del Azar (17´)
El ser humano siempre ha estado preocupado por lo que le deparará el futuro. Las matemáticas han intentado iluminar, al menos en parte, las pautas que rigen el futuro inmediato sujeto al azar. En nuestro país nos gastamos todas las semanas miles de millones de pesetas en loterías, bonolotos, primitiva, sorteos... Ponemos nuestra suerte y nuestro dinero en manos del azar. Pero el azar tiene sus leyes y en algunas de esas leyes profundizaremos en este programa. Descubriremos, entre otras, cosas la probabilidad de acertar un pleno en la primitiva. Lo que empezó como un juego, un problema de dados planteado a Pascal, se ha convertido en la Teoría de la Probabilidad, una de las herramientas matemáticas más utilizadas en la actualidad. Desde loa aficionados a los juegos de azar, hasta las aseguradoras y las multinacionales toman sus decisiones basándose en las Leyes del Azar.
Ejemplo: Regla de Laplace
En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de AS?, ¿Y de OROS
P(As)=número de ases/número total de cartas=4/40=0.1
P(OROS)=número de oros/número total de cartas=10/40=0.25
Ejercicios: Cálculo de probabilidades 1. Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes: a) Que las dos cifras sean iguales b) Que su suma sea 11 c) Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13Solución: a) El espacio muestral de este experimento está formado por los cien sucesos elementales: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ..., 98, 99. Para cada sucesos del enunciado calculamos sus casos favorables, aplicamos la regla de Laplace y obtenemos: Los casos favorables son: 00, 11, 22, ..., 99. La probabilidad de que las últimas cifras sean iguales es: P(últimas cifras iguales) = 10/100 = 1/10 = 0.1 Los casos favorables a que la suma de las últimas cifras sea 11 son: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 y 92. Por tanto, b) P(últimas cifras suman once) = 8/100 = 0.08 c) Deben contarse los números de dos cifras cuya suma sea 8, 9, 10, 11 y 12. Haciendo un recuento ordenado, se obtienen 43 casos favorables. La probabilidad buscada es: P(últimas cifras suman un valor mayor que 7 y menor que 13) = 43/100 = 0.432. Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide: a) Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres. b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?Solución: a) El espacio muestral del experimento es: E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)} y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos posibles del experimento. Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden: Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son: A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}. Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3
B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6);(6,3)}.
3.Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que: a) La suma de los números aparecidos sea menor que 8. b) La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8.Solución: Los casos posibles de este experimento son las 216 ternas siguientes: 111, 112, 121, 211, ..., 665, 666. Realizando un recuento ordenado de los casos favorables a los sucesos del enunciado, obtenemos las siguientes probabilidades: a) P(suma de valores menor que 8)=  |
