Productos notables (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Productos notables
- 1.1 Factorización de polinomios usando productos notables
- 1.2 Ejercicios propuestos
2 Sacar factor común
- 2.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 124)

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Productos notables

Los productos notables son unas identidades de ciertos productos de binomios que resultan útiles para abreviar los cálculos con expresiones algebraicas.

Productos notables

Cuadrado de una suma: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\!$

Cuadrado de una diferencia: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \;\!$

Suma por diferencia: $(a + b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \;\!$

Demostración:

Cuadrado de una suma:

$(a + b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\!$

Demostración visual del cuadrado de una suma Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una suma

Cuadrado de una diferencia:

$(a - b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a^2-ab-ba+b^2 = a^2 - 2ab + b^2 \;\!$

Demostración visual del cuadrado de una diferencia Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una diferencia

Suma por diferencia:

$(a + b) \cdot (a-b) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2 \;\!$

Demostración visual de la suma por diferencia Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula de la suma por diferencia

Ejemplos: Productos notables

Calcula:

a) $(5x-2)^2 \;\!$

b) $(2x-3)(2x+3) \;\!$

Solución:

a) $(5x-2)^2 = (5x)^2-2 \cdot (5x) \cdot 2+2^2=25x^2-20x+4 \;\!$

b) $(2x-3)(2x+3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9 \;\!$

Productos notables

Tutorial 1 (9'38") Sinopsis:

Productos notables. Ejemplos.

Tutorial 2a (1'53") Sinopsis:

Las tres identidades notables.

Tutorial 2b (5'43") Sinopsis:

La identidad notable cuadrado de una suma. Ejemplos.

Tutorial 2c (4'29") Sinopsis:

La identidad notable cuadrado de una diferencia. Ejemplos.

Tutorial 2d (3'15") Sinopsis:

La identidad notable suma por diferencia. Ejemplos.

Tutorial 3a (5'48") Sinopsis:

Fórmulas del cuadrado de una suma y de una diferencia.
Ejemplos::

a) $(x+3)^2\;$

b) $(2n-7m)^2\;$

Tutorial 3b (6'08") Sinopsis:

Fórmula de la suma por diferencia.
Ejemplos:

a) $(2x+3y)(2x-3y)\;$

b) $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})\;$

c) $(x-a)(x+a)\;$

Tutorial 4 (14'05") Sinopsis:

Como se desarrollan un binomio al cuadrado y una suma por diferencia.

Tutorial 5 (25'26") Sinopsis:

Explicación de las igualdades o identidades notables y ejemplos resueltos.

Ejercicio 1a (8'39") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(2x+3)^2\,$

b) $(3m+2n)^2\,$

c) $(3x^4-5)^2\,$

d) $(5x-\sqrt{7})^2\,$

Ejercicio 1b (9'11") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(4x+7y)(4x-7y)\,$

b) $(\sqrt{5}w-3z^5)(\sqrt{5}w+3z^5)\,$

c) $(2\sqrt{3}a-3\sqrt{5}b^3)(2\sqrt{3}a+3\sqrt{5}b^3)\,$

Ejercicio 2a (2'17") Sinopsis:

Desarrolla: $(3x+5y)^2\,$

Ejercicio 2b (4'23") Sinopsis:

Desarrolla: $(2x^3+9y^4)^2\,$

Ejercicio 2c (1'33") Sinopsis:

Desarrolla: $(7m-3c)^2\,$

Ejercicio 2d (5'44") Sinopsis:

Desarrolla: $(4K^2L-5K^6L^3)^2\,$

Ejercicio 2e (2'01") Sinopsis:

Desarrolla: $(5m^3+3n^4)\cdot(5m^3-3n^4)\,$

Ejercicio 3 (5'54") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(x+2)\cdot(x-2)\,$

b) $(x+\sqrt{2})\cdot(x-\sqrt{2})\,$

c) $(\cfrac{1}{4}+\cfrac{2x}{3})\cdot(\cfrac{1}{4}-\cfrac{2x}{3})\,$

d) $(3\sqrt{5}+4x)\cdot(3\sqrt{5}-4x)\,$

e) $(\cfrac{2a}{3}+\cfrac{2}{a})\cdot(\cfrac{2a}{3}-\cfrac{2}{a})\,$

Ejercicio 4a (8'05") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

2a) $(2a-b)(2a+b)\;$

2b) $(\cfrac{2}{3}x-\cfrac{5}{6}y^2)(\cfrac{2}{3}x+\cfrac{5}{6}y^2)\;$

2c) $(3x-2y)^2\;$

2d) $(3x+2y)^2\;$

2e) $(x^2+\cfrac{x}{3})(x^2-\cfrac{x}{3})\;$

Ejercicio 4b (4'33") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

4a) $(x-2a)^2\;$

4b) $(x+2a)^2\;$

4c) $(2x+1)^2\;$

4d) $(2x-1)^2\;$

Ejercicio 4c (10'51") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

5a) $(3x+1)^2\;$

5b) $(3x-1)^2\;$

5c) $(2x+3)^2\;$

5d) $(5x^2+3x)^2\;$

5e) $(5x^2-3x)^2\;$

5f) $(x+2)(x-2)\;$

5g) $(3x^2+3)^2\;$

5h) $(x^2+6)(x^2-6)\;$

5i) $(6x-3)(6x+3)\;$

5j) $(2x-\cfrac{1}{2})(2x+\cfrac{1}{2})\;$

5k) $(6x-3)^2\;$

5l) $(6x+3)^2\;$

Ejercicio 5a (5'56") Sinopsis:

Calcula: $(x+3)(x-3)\;$

Ejercicio 5b (7'19") Sinopsis:

Calcula: $(x+7)^2\;$

Ejercicio 5c (2'30") Sinopsis:

Calcula: $(2x+8)(2x-8)\;$

Ejercicio 5d (3'59") Sinopsis:

Calcula: $(7x+10)^2\;$

Ejercicio 5e (8'27") Sinopsis:

Halla el área de un cuadrado cuyo lado mide $(6x-5y)\;$ .

Ejercicio 5f (10'35") Sinopsis:

Calcula:

a) $(x+9)^2\;$

b) $(x+b)^2\;$

c) $(3x-7)^2\;$

d) $(4x^2+y^2)^2\;$

e) $(2x-1)(2x+1)\;$

f) $(5a-2b)(5a+2b)\;$

Ejercicios 6a (7'50") Sinopsis:

Calcula:

a) $(x+5)^2\;$

b) $(x-5)^2\;$

c) $(x+5)(x-5)\;$

d) $(x+\cfrac{1}{2})^2\;$

e) $(x-\cfrac{1}{2})^2\;$

f) $(x+\cfrac{1}{2})(x-\cfrac{1}{2})\;$

g) $(x+\cfrac{3}{5})^2\;$

h) $(x-\cfrac{3}{5})^2\;$

i) $(x+\cfrac{3}{5})(x-\cfrac{3}{5})\;$

j) $(4x+3)^2\;$

k) $(4x-3)^2\;$

l) $(4x+3)(4x-3)\;$

m) $(2x+\cfrac{1}{3})^2\;$

n) $(2x-\cfrac{1}{3})^2\;$

o) $(2x+\cfrac{1}{3})(2x-\cfrac{1}{3})\;$

p) $(x^3+4)^2\;$

q) $(x^3-4)^2\;$

r) $(x^3+4)(x^3-4)\;$

s) $(6x^2+1)^2\;$

t) $(6x^2-1)^2\;$

u) $(6x^2+1)(6x^2-1)\;$

Productos notables

Actividad 1a (Cuadrado de una suma) Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad del cuadrado de una suma.

Actividad 1b (Cuadrado de una diferencia) Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad del cuadrado de una diferencia.

Actividad 1c (Suma por diferencia) Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad de la suma por diferencia.

Autoevaluación 1a Descripción:

Productos notables.

Autoevaluación 1b Descripción:

Productos notables.

Productos notables

Actividad: Productos notables

Calcula:

a) $(3x+5)^2 \;\!$

b) $(x-2)(x+2) \;\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) expand (3x+5)^2

b) expand (x-2)*(x+2)

(Pág. 125)

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Factorización de polinomios usando productos notables

Las identidades notables son útiles para completar ciertas operaciones de forma rápida, pero una de sus aplicaciones más interesantes consiste en hacer lo contrario, deshacer cuentas. Son una potente herramienta para la descomposición y simplificación de expresiones algebraicas.

Ejemplos: Factorización de polinomios usando productos notables

Factoriza:

a) $4x^2-9 \;\!$

b) $x^2+4x+4 \;\!$

Solución:

Soluciones:

a) Al tratarse de un binomio cuyos términos están restando, sólo podemos ponerlo como diferencia de cuadrados. Extrayendo las raíces cuadradas de cada término tenemos:

$\left . \begin{matrix}\sqrt{4x^2}=2x \\ \sqrt{9}=3 \end{matrix} \right \} \ \rightarrow \ 4x^2-9=(2x+3)(2x-3) \!$

b) Al tratarse de un trinomio, buscaremos dos de sus términos que sean cuadrados perfectos y calcularemos su raíz cuadrada:

$\left . \begin{matrix}\sqrt{x^2}=x \\ \sqrt{4}=2 \end{matrix} \right \} \ \rightarrow \ x^2+4x+4 =(x+2)^2 \!$

Para confirmar que esa es la factorización, comprobaremos que el doble producto del primero por el segundo es igual al otro término:

$2 \cdot x \cdot 2 =4x\;$

En efecto, luego esa es la factorización.

Factorización de polinomios usando productos notables

Tutorial 1 (9'02") Sinopsis:

Factorización de polinomios usando productos notables. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'46") Sinopsis:

Factorización de polinomios usando productos notables. Ejemplos.

Tutorial 3a (12'55") Sinopsis:

Factorización de polinomios usando el trinomio cuadrado perfecto.

Tutorial 3b (1'53") Sinopsis:

Hasta el minuto 1'53": Factorización de polinomios usando diferencias de cuadrado.

Ejercicio 1 (11'34") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios en producto de factores usando identidades notables:

3a) $25x^4-\cfrac{1}{4}\;$

3b) $16x^2-\cfrac{9}{4}\;$

3c) $x^2-16x+64\;$

3d) $x^2-10x+25\;$

Ejercicio 2 (10'11") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios en producto de factores usando identidades notables:

3e) $x^4-9x^2\;$

3f) $x^6-16x^4\;$

3g) $36x^4-\cfrac{9}{4}\;$

Ejercicio 3 (5'06") Sinopsis:

Encuentra un binomio factor común de los polinomios siguientes: $m^2-4m-45\;$ y $6m^2-150\;$

Ejercicio 4 (4'57") Sinopsis:

Encuentra un binomio factor común de los polinomios siguientes: $4x^2+12x+9\;$ y $4x^2-9\;$

Ejercicio 5 (2'26") Sinopsis:

Factoriza: $25x^4-30x^2+9\;$

Ejercicio 6 (3'38") Sinopsis:

Factoriza: $x^2-49y^2\;$

Ejercicio 7 (3'12") Sinopsis:

Factoriza: $49x^2-49y^2\;$

Factorización de diferencias de cuadrados

Ejercicio 1 (2'14") Sinopsis:

Factoriza: $x^2-16\;$

Ejercicio 2 (2'00") Sinopsis:

Factoriza: $x^{20}-49\;$

Ejercicio 3 (2'12") Sinopsis:

Factoriza: $a^4-b^4\;$

Ejercicio 4 (2'20") Sinopsis:

Factoriza: $16a^4b^6-c^6\;$

Ejercicio 5 (1'52") Sinopsis:

Factoriza: $36x^2-1\;$

Ejercicio 6 (1'54") Sinopsis:

Factoriza: $x^2-\cfrac{4}{81}\;$

Ejercicio 7 (2'51") Sinopsis:

Factoriza: $\cfrac{25x^4}{a^6}-\cfrac{16a^4}{4m^2}\;$

Ejercicio 8 (2'20") Sinopsis:

Factoriza: $x^{6a}-y^{4b}\;$

Ejercicio 9 (2'49") Sinopsis:

Factoriza: $16x^{6a}-49y^{2b}\;$

Ejercicio 10 (3'55") Sinopsis:

Factoriza: $(x-1)^2-16y^2\;$

Ejercicio 11 (4'45") Sinopsis:

Factoriza: $(2x+1)^2-(y+5)^2\;$

Ejercicio 12 (5'16") Sinopsis:

Factoriza: $49x^4-4(x^2-3x)^2\;$

Ejercicio 13 (11'15") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomos usando diferencias de cuadrados:

1a) $x^2-4\;$

1b) $x^2-16\;$

1c) $x^2-25\;$

1d) $4x^2-16\;$

1e) $x^2-1\;$

1f) $100x^2-1\;$

1g) $9x^2-1\;$

1h) $16x^2-1\;$

Ejercicio 14 (11'51") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomos usando diferencias de cuadrados:

1i) $x^4-25\;$

1j) $25x^6-9\;$

1k) $81x^4-16x^2\;$

1l) $25x^6-81x^2\;$

Ejercicio 15 (4'22") Sinopsis:

Factoriza:

a) $49x^4y^2-64w^{10}z^{14}\;$

b)) $c^8-d^8\;$

Ejercicio 16 (3'24") Sinopsis:

Factoriza: $45x^2-125\;$

Ejercicio 17 (3'58") Sinopsis:

Factoriza: $16x^2-64\;$

Ejercicio 18 (6'34") Sinopsis:

Factoriza: $36y^3-100y\;$

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Ejercicio 1 (2'32") Sinopsis:

Factoriza: $x^2+6x+9\;$

Ejercicio 2 (1'57") Sinopsis:

Factoriza: $x^2-10x+25\;$

Ejercicio 3 (2'02") Sinopsis:

Factoriza: $49+x^2+14x\;$

Ejercicio 4 (2'00") Sinopsis:

Factoriza: $9a^2-30a+25\;$

Ejercicio 5 (2'00") Sinopsis:

Factoriza: $36+121c^2-132c\;$

Ejercicio 6 (1'19") Sinopsis:

Factoriza: $16a^2+24ab+9b^2\;$

Ejercicio 7 (1'22") Sinopsis:

Factoriza: $4a^2-20ab+25b^2\;$

Ejercicio 8 (1'19") Sinopsis:

Factoriza: $9a^2+6ab+b^2\;$

Ejercicio 9 (1'20") Sinopsis:

Factoriza: $4a^2-12ab+9b^2\;$

Ejercicio 10 (2'26") Sinopsis:

Factoriza: $a^2-24x^2a^3+144x^4a^4\;$

Ejercicio 11 (1'49") Sinopsis:

Factoriza: $100a^4-60a^2b+9b^2\;$

Ejercicio 12 (1'52") Sinopsis:

Factoriza: $a^8+36b^2c^2+12a^4bc\;$

Ejercicio 13 (1'43") Sinopsis:

Factoriza: $121+198a^6+81a^12\;$

Ejercicio 14 (1'44") Sinopsis:

Factoriza: $49x^6-70ax^3y^2+25a^2y^4\;$

Ejercicio 15 (1'10") Sinopsis:

Factoriza: $400a^10+40a^5+1\;$

Ejercicio 16 (1'12") Sinopsis:

Factoriza: $x^8+18x^4+81\;$

Ejercicio 17 (1'59") Sinopsis:

Factoriza: $\cfrac{y^2}{4}-yz+z^2\;$

Ejercicio 18 (1'32") Sinopsis:

Factoriza: $1+\cfrac{2}{3}p+\cfrac{p^2}{9}\;$

Ejercicio 19 (1'14") Sinopsis:

Factoriza: $x^4-x^2y^2+\cfrac{y^4}{4}\;$

Ejercicio 20 (1'59") Sinopsis:

Factoriza: $\cfrac{1}{25}+\cfrac{25}{36} b^4 - \cfrac{b^2}{3}\;$

Ejercicio 21 (1'32") Sinopsis:

Factoriza: $16m^6-2m^3n^2+\cfrac{n^4}{16}\;$

Ejercicio 22 (2'14") Sinopsis:

Factoriza: $9(a+x)^2-12(a+x)+4\;$

Ejercicio 23 (2'54") Sinopsis:

Factoriza: $4(1+m)^2-4(1+m)(n-1)+(n-1)^2\;$

Ejercicio 24 (2'55") Sinopsis:

Factoriza: $9(a-b)^2+12(a-b)(a+b)+4(a+b)^2\;$

Ejercicio 25 (3'01") Sinopsis:

Factoriza: $(m+n)^2-2(m+n)(m-n)+(m-n)^2\;$

Ejercicio 26 (2'04") Sinopsis:

Factoriza: $4a^2-4a(b-a)+(b-a)^2\;$

Ejercicio 27 (2'11") Sinopsis:

Factoriza: $(m+a)^2-2(m+a)(a+b)+(a+b)^2\;$

Ejercicio 28 (1'25") Sinopsis:

Factoriza: $x+2\sqrt{2xy}+2y\;$

Ejercicio 29 (1'11") Sinopsis:

Factoriza: $ax+4\sqrt{ax}+4\;$

Ejercicio 30 (1'34") Sinopsis:

Factoriza: $a^3-10a^{\frac{3}{2}}+25\;$

Ejercicio 31 (1'37") Sinopsis:

Factoriza: $x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}+9\;$

Ejercicio 32 (1'53") Sinopsis:

Factoriza: $16x^{\frac{1}{2}}-8x^{\frac{1}{4}}+1\;$

Ejercicio 33 (1'53") Sinopsis:

Factoriza: $m^{\frac{2}{3}}+4m^{\frac{1}{3}}+4\;$

Ejercicio 34 (1'27") Sinopsis:

Factoriza: $\sqrt[3]{m^2}-6\sqrt[3]{m}+9\;$

Ejercicio 35 (8'36") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios usando trinomios cuadrado perfecto:

2a) $x^2-4x+4\;$

2b) $x^2-6x+9\;$

2c) $x^2+6x+9\;$

2d) $x^2+4x+4\;$

Ejercicio 36 (8'23") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios usando trinomios cuadrado perfecto:

2e) $x^2-2x+1\;$

2f) $x^2-10x+25\;$

2g) $x^2+2x+1\;$

2h) $x^2+10x+25\;$

2i) $x^4-6x^2+9\;$

Ejercicio 37 (9'13") Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios usando trinomios cuadrado perfecto:

2j) $x^4+10x^2+25\;$

2k) $x^4-20x^2+100\;$

2l) $x^6-14x^3+49\;$

Ejercicio 38 (4'33") Sinopsis:

Factoriza:

a) $4x^2+12xy^2+9y^4\;$

b) $25m^4-40m^2+16\;$

Ejercicio 39 (4'55") Sinopsis:

Factoriza: $25x^2-30x+9\;$

Ejercicio 40 (5'07") Sinopsis:

Factoriza: $25x^2+20x+4\;$

Ejercicio 41 (4'04") Sinopsis:

Factoriza: $16x^3+24x^2+9x\;$

Ejercicio 42 (3'51") Sinopsis:

Factoriza: $-4t^2-12t-9\;$

Ejercicio 43 (3'16") Sinopsis:

Averigua el valor de "c" y "d" de manera que $x^2+5x+c=(x+d)^2\;$ .

Ejercicio 44 (4'57") Sinopsis:

Averigua el valor de "c" y "d" de manera que $x^2+5x+c=(x+d)^2\;$ .

Factorización de polinomios mediante productos notables

Actividad: Factorización de polinomios mediante productos notables

Factoriza:

a) $9x^2-100\!$

b) $25x^2-30x+9\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) factor 9x^2-100

b) factor 25x^2-30x+9

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Productos notables

(Pág. 125)

2a,b,c; 4a,c,e; 5

1; 2d,e,f; 4b,d,f;

(Pág. 126)

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Sacar factor común

Sacar factor común en una expresión algebraica con varios sumandos, consiste en encontrar una parte común a todos esos sumandos y aplicar la propiedad distributiva para poner la expresión algebraica como producto de esa parte común y una serie de sumandos entre paréntesis.

Ejemplo: Sacar factor común

Saca factor común en la expresión $16xyz-24xz+4x\;\!$

Solución:

El factor común, que se repite en los tres sumandos, es $4x\,\!$ . Ese factor lo multiplicamos por un paréntesis que contenga a otros tres sumandos. Cada uno de los sumandos del paréntesis deberá ser tal, que al multiplicarlo por el factor común $4x\,\!$ , dé como resultado cada uno de los sumandos de la expresión de partida. En nuestro caso:

$16xyz-24xz+4x\;\!=$

$(4x) \cdot 4yz - (4x) \cdot 6z + (4x) \cdot 1=\;\!$

$4x \cdot (4yz-6z+1)$

Sacar factor común

Actividad 1 Descripción:

Actividades para aprender y practicar cómo se saca factor común.

Actividad 2 Descripción:

Factorizar polinomios sacando factor común.

Autoevaluación 1 Descripción:

Factorizar polinomios sacando factor común.

Autoevaluación 2 Descripción:

Evalúa expresiones usando la estructura.

Sacar factor común

Tutorial 1 (9'36") Sinopsis:

Cómo se saca factor común. Ejemplos

Tutorial 2 (28'00") Sinopsis:

En este tutorial se explica la extracción de factor común en expresiones algrebraicas, el caso más sencillo de factorización de polinomios.
(4:40) La propiedad distributiva. Demostración geométrica.

Tutorial 3 (8'54") Sinopsis:

Sacara factor común.

Ejercicio 1 (6'09") Sinopsis:

Saca factor común:

a) $3x+3y\;$

b) $10a-15b\;$

c) $4pq-8pr+12pt\;$

d) $x(a+1)-t(a+1)+5(a+1)\;$

Ejercicio 2 (22'35") Sinopsis:

Saca factor común:

a) $8a-4b+16c+12d\;$

b) $7x^2+11x^3-4x^5+3x^4-x^8\;$

c) $9x^3-6x^2+12x^5-16x^7\;$

d) $\frac{4}{3}x-\frac{8}{9}x^3+\frac{16}{15}x^7-\frac{2}{3}x^5\;$

e) $9x^2ab-3xa^2b^3+x^2az\;$

f) $3(x+1)-5x(x+1)+x^2(x+1)\;$

Ejercicio 3a (7'18") Sinopsis:

Saca factor común:

a) $ax+bx\;$

b) $9x^3-24x^2\;$

c) $2x^2y+6xy^2-8x^2y^2\;$

d) $3x^2y-3x^2z+3x^2\;$

Ejercicio 3b (9'27") Sinopsis:

Saca factor común:

a) $2(a+b)+x(a+b)\;$

b) $(x+y)a-(x+y)b-x-y\;$

c) $ax-bx+cx+ay-by+cy-a+b-c\;$

Ejercicio 5 (5'23") Sinopsis:

Saca factor común:

$6a^4b^3c^2+15a^3b^2-21a^2b\;$

Ejercicio 4a (3'15") Sinopsis:

Saca factor común:

$18x^5+30x^4\;$

Ejercicio 4b (3'02") Sinopsis:

Saca factor común:

$4x^4-8x^3+12x^2\;$

Ejercicio 4c (4'47") Sinopsis:

Saca factor común:

$16x^3y^2-8x^4y-8x^2y-40x^2y^3\;$

Ejercicio 4d (2'16") Sinopsis:

Saca factor común:

$x^3+x^2y^2-x^5y^2\;$

Ejercicio 4e (3'18") Sinopsis:

Saca factor común:

$m^3n^3-m^4n^2p+m^5n^4p^2+m^3n^2p^2\;$

Ejercicio 4f (4'17") Sinopsis:

Saca factor común:

$4x^2y-12x^2y^3+16x^5yz\;$

Ejercicio 5a (4'44") Sinopsis:

Saca factor común:

a) $4x+18\;$

b) $12+32y\;$

Ejercicio 5b (4'44") Sinopsis:

Saca factor común:

$8x^2y+12xy^2\;$

Ejercicio 5c (5'05") Sinopsis:

Saca factor común:

$4x^4y-8x^3y-2x^2\;$

Ejercicio 5d (6'24") Sinopsis:

El área de un rectángulo es de $12x^4+6x^3+15x^2\;$ y su largo es el m.c.d. de cada uno de los sumandos del anterior polinomio. Calcula las dimensiones del rectángulo.