Reglas de derivación (1ºBach)

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(Pág. 308)

Hemos visto en el apartado anterior como se obtiene la función derivada de una función. Es un proceso largo y pesado. Existen una serie de reglas, demostradas por medio de ese procedimiento, que nos permitirán aliviar el trabajo del cálculo de la función derivada.

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Derivada de las funciones elementales

ejercicio

Reglas de derivación

  • Función constante:
D(k)=0 \, , \ \forall k \in \mathbb{R}
  • Función identidad:
D(x)=1\;
  • Función potencia:
D(x^n)=n \, x^{n-1}\;

  • Funciones trigonométricas directas:
D(sen\,x)=cos \, x
D(cos\,x)=-sen \, x
D(tg\,x)=1+tg^2\,x=\cfrac{1}{cos^2 x}
  • Funciones trigonométricas recíprocas:
D(arc\,sen\,x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
D(arc\,cos\,x)=\cfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
D(arc\,tg\,x)=\cfrac{1}{1+x^2}
  • Funciones exponenciales:
D(e^x)=e^x\;
D(a^x)=a^x \cdot ln\,a

  • Funciones logarítmicas:
D(ln\,x)=\cfrac{1}{x}
D(log_a\,x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,a}
Demostración:
Derivada de la función constante (4'14")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función constante f(x)=c\,

Derivada de la función potencia de exponente constante (11'03")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función potencia de exponente constante f(x)=x^n\,

Derivada de la función seno (5'21")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función seno f(x)=sen \, x

Derivada de la función coseno (4'42")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función coseno f(x)=cos \, x

Derivada de la función tangente (3'54")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función tangente f(x)=tg \, x

Derivada de la función exponencial de base e (6'38")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función exponencial de base e f(x)=e^x \,

Derivada de la función logaritmo neperiano (4'10")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función logaritmo neperiano f(x)=ln \, x

Derivada de la función exponencial de base a (4'37")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función exponencial de base a f(x)=a^x \,

Derivada de la función logaritmo de base a (5'47")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función logaritmo neperiano f(x)=log_a \, x

Derivada de la función potencia de exponente constante (otro método) (5'41")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función potencia de exponente constante usando logaritmos f(x)=x^n\,

Derivada de la función arco seno (3'56")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco seno f(x)=arcsen \, x

Derivada de la función arco coseno (4'32")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco coseno f(x)=arccos \, x

Derivada de la función arco tangente (4'10")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco tangente f(x)=arctg \, x

Otras reglas:

Derivada de la función cotangente (4'16")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función cotangente f(x)=cotg \, x

Derivada de la función secante (3'21")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función secante f(x)=sec \, x

Derivada de la función cosecante (3'47")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función cosecante f(x)=cosec \, x

Derivada de la función arco cotangente (3'59")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco cotangente f(x)=arccotg \, x

Derivada de la función arco secante (4'14")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco secante f(x)=arcsec \, x

Derivada de la función arco cosecante (4'35")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función arco cosecante f(x)=arccosec \, x

Derivada de una función elevada a otra función (9'25")     Sinopsis:

Demostración de la regla de la derivada de la función elevada a otra función f(x)=f(x)^{g(x)} \,

ejercicio
Ejemplos:
  • f(x)=x^5 \ \rightarrow \ f'(x)=5x^4
  • f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{2} \, x^{(\frac{1} {2}-1)}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}
  • f(x)=2^x \ \rightarrow \ f'(x)=2^x \cdot ln \, x
  • f(x)=log_2 \,x \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,2}

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Derivada de operaciones con funciones

ejercicio

Reglas de derivación

  • Producto de una función por una constante:
D[k\,f(x)]=k\,f'(x)\;

ejercicio
Ejemplo:

f(x)=5x^3 \ \rightarrow \ f'(x)=5\,D(x^3)=5 \cdot 3x^2=15x^2

  • Suma de funciones:
D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;

ejercicio
Ejemplo:

f(x)=3x^4+3x^2-1 \ \rightarrow \ f'(x)=D(3x^4)+D(3x^2)+D(-1)=

=12x^3+6x +0=12x^3+6x\;

  • Producto de funciones:
D[f(x) \cdot g(x)]=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\;
ejercicio
Ejemplo:

f(x)=x^3 \cdot cos\,x \ \rightarrow \ f'(x)=D(x^3) \cdot cos \, x +x^3 \cdot D(cos \, x)

=3x^2 \cdot cos \, x - x^3 \cdot sen \, x

  • Cociente de funciones:
D \left[ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right]=\cfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\;
ejercicio
Ejemplo:

f(x)=\cfrac{sen \, x}{cos \, x} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{D(sen \, x) \cdot cos \, x -sen \, x \cdot D(cos \, x)}{cos^2x}=

=\cfrac{cos^2 x +sen^2 x}{cos^2 x}=\cfrac{1}{cos^2 x}

  • Composición de funciones (Regla de la cadena):
D\{g[f(x)]\}=g'[f(x)] \cdot f'(x)\;
ejercicio
Ejemplo:

f(x)=sen^2 x \ \rightarrow \ f'(x)=2 \, sen \, x \cdot D[sen \, x]=2 \, sen \, x \cdot cos \, x

Demostración:
Derivada del producto de una función por una constante (8'37")     Sinopsis:

Demostración de la regla de derivación de una función por una constante: D[k\,f(x)]=k\,f'(x)\;

Derivada de la suma de funciones (8'53")     Sinopsis:

Demostración de la regla de derivación de la suma de funciones: D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;

Derivada del producto de funciones (8'01")     Sinopsis:

Demostración de la regla de derivación del producto de funciones: D[f(x) \cdot g(x)]=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\;

Derivada del cociente de funciones (5'45")     Sinopsis:

Demostración de la regla de derivación del cociente de funciones: D \left[ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right]=\cfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\;

Derivada de la composición de funciones (regla de la cadena) (15'30")     Sinopsis:

Ejemplo de uso y demostración de la regla de derivación de la composición de funciones o regla de la cadena: D\{g[f(x)]\}=g'[f(x)] \cdot f'(x)\;</math>

video
Reglas de derivación
Tutorial 1 (Lista de reproducción)     Sinopsis:

Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas sin calcular límites.

Tutorial 2 (Lista de reproducción)     Sinopsis:

Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas sin calcular límites.

Tutorial 3 (Lista de reproducción)     Sinopsis:

Los 18 primeros vídeos de esta lista de reproducción repasan las reglas de derivación con ejemplos.

Tutorial 4 (56'32")     Sinopsis:

Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas sin calcular límites.

Ejemplos 1 (15'36")     Sinopsis:
22 ejemplos sencillos de aplicación de las reglas de derivación.
Ejemplos 2 (26'28")     Sinopsis:

Ejemplos de cálculo de la derivada de una función usando las reglas de derivación.

video
Regla de la cadena
Ejercicio 1 (5'46")     Sinopsis:

Halla la derivada de: y=(5x-2x^4)^3\;

Ejercicio 2 (14'44")     Sinopsis:

Halla la derivada de: y=\sqrt[5]{\cfrac{x^3-2}{x^3+2}}\;

Ejercicio 3 (7'12")     Sinopsis:

Halla la derivada de: y=sen \, 2x \cdot ln \,x^2\;

Ejercicio 4 (17'28")     Sinopsis:

Halla la derivada de:

a) f(x)=\left( \cfrac{3x^2+6x}{x^3-4} \right)^5\;

b) g(x)=\sqrt{sen^{-1}(3x)}\;

c) h(x)=e^{x \, ln \, x} \cdot 2^{-x}\;

d) i(x)=log_2 \, \sqrt[3]{\cfrac{3-x}{x+3}}\;

Ejercicio 5 (11'14")     Sinopsis:

Halla la derivada de:

a) f(x)=sen^3 ( ln \, x)\;

b) g(x)=sen (ln^3 x)\;

Ejercicio 6 (8'43")     Sinopsis:

Halla la derivada de:

a) f(x)=sen ( ln \, x^3)\;

b) g(x)=ln^3 (sen \, x)\;

video
Derivadas de familias de funciones
Derivada de las funciones trigonométricas (17'47")     Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones trigonométricas para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Derivada de las funciones exponenciales (9'04")     Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones exponenciales para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Derivada de las funciones logarítmicas (12'24")     Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones logarítmicas para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Derivada de las funciones trigonométricas inversas (22'04")     Sinopsis:

Reglas de derivación de las funciones trigonométricas inversas para casos simple y para casos complejos aplicando la regla de la cadena. Ejemplos.

Estrategias para aplicar las reglas de las derivadas (15'26")     Sinopsis:

Videotutorial

Tabla de derivadas
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Tabla de derivadas

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Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos: Reglas de derivación

Halla la derivada de las siguientes funciones:

  1. f(x)=2x^3-5x^2+3x-2\;
  2. g(x)=\sqrt{2x} + \sqrt[3]{5x^2}
  3. h(x)=\cfrac{1}{x \sqrt{x}}
  4. i(x)=2^{3x}\;
  5. j(x)=\cfrac{x^3}{x^2+1}
  6. k(x)=arc \, tg \sqrt{x^2+1}
Solución:
  1. f'(x)=6x^2-10x+3\;
  2. g'(x)=\cfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}+\cfrac{2\sqrt[3]{5}}{3\sqrt[3]{x}}
  3. h'(x)=-\cfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}
  4. i'(x)=8^x \cdot ln \, 8
  5. j'(x)=\cfrac{x^4+3x^2}{x^4+2x^2+1}
  6. i'(x)=\cfrac{1}{x^2+2} \cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x

video
Ejercicios: Reglas de derivación
Ejercicios 1 y 2 (3'49")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

1. f(x)=7x^6-5x^8+9x^3+14x-2\;
2. h(x)=x^6-\cfrac{1}{x^6}-e^6+ln\,6-\cfrac{6}{x}\;
Ejercicios 3, 4 y 5 (6'19")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

3. y=\cfrac{x^2}{2}-\cfrac{x^7}{7}\;
4. y=2x^\frac{3}{4}+4x^{-\frac{1}{4}}\;
5. y=\cfrac{a+bx+cx^2}{x}\;
Ejercicio 6 (4'01")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

6. m(x)=e^{5x} \ ln\,(2x-9)\;
Ejercicio 7 (5'20")     Sinopsis:

Calcula la derivada de y respecto de la variable t:

7. y=t\,\sqrt{a^2+t^2}\;
Ejercicio 8 (3'45")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

8. P(x)=\cfrac{x^2+x^3}{x^4-7}\;
Ejercicio 9 (6'18")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

9. f(x)=\cfrac{3x-5}{(x^2+1)^2}\;
Ejercicio 10 (1'54")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

10. R(x)=(5x^6-7)^8\;
Ejercicio 11 (6'57")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

11. f(x)=\sqrt{\cfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}}\;
Ejercicio 12 (2'30")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

12. y=cos^2x+cos(x^2)\;
Ejercicio 13 (2'19")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

13. y=\cfrac{3^{x^2}}{3^x}\;
Ejercicio 14 (2'21")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

14. y(t)=\cfrac{ln\,t^8}{ln\,t^{11}}\;
Ejercicio 15 (9'14")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

15. y=\cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\;
Ejercicio 16 (3'48")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

16. y=ln\,(sen\,x \cdot cos\,x)\;
Ejercicio 17 (8'01")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

17. f(x)=tan^3(2^{5x^4})\;
Ejercicio 18 (9'26")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

18. f(x)=e^{x^2\,\sqrt{3x-1}}\;
Ejercicio 19 (10'21")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

19. f(x)=-\cfrac{1}{8} \ arc\,sen \left( \cfrac{4}{x^2}\right)\;
Ejercicio 20 (6'06")     Sinopsis:

Calcula la derivada de:

20. f(x)=ln \left[\cfrac{(x+4)^2 (x-1)^3}{(x-7)^5}\right]
Ejercicio 21 (5'11")     Sinopsis:

21. Sabiendo que f(2)=4, f'(4)=6 y f'(2)=-2, calcula:

a) (fof)'(2)\,
b) La derivada de \left[ f(x) \right]^3 cuando x=2.
Ejercicio 22 (5'53")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=e^{cos \, x} \cdot cos\, (e^x)\;

Ejercicio 23 (4'53")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=sen \, (ln \, (x^2))\;

video
Ejercicios: Derivadas de funciones algebraicas
Ejercicio 1 (1'24")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=x^6\;

Ejercicio 2 (1'39")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=3x^4\;

Ejercicio 3 (2'16")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{x^{10}}{5}\;

Ejercicio 4 (2'58")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{6}{x^3}\;

Ejercicio 5 (3'17")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=-\cfrac{3}{x^6}\;

Ejercicio 6 (1'57")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=5x+4\;

Ejercicio 7 (3'14")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=7x^2+3x-2\;

Ejercicio 8 (3'50")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\sqrt{x}\;

Ejercicio 9 (3'33")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=x^4-2x^3+8x^2-x-10\;

Ejercicio 10 (3'43")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{\sqrt[3]{x}}{2}\;

Ejercicio 11 (4'37")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{6}{\sqrt{x}}\;

Ejercicio 12 (4'26")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{5}{\sqrt[4]{x}}\;

Ejercicio 13 (4'36")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{x^3}{6}-\cfrac{2x^2}{5}-\cfrac{7x}{9}-\cfrac{3}{5}\;

Ejercicio 14 (3'51")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{x^2}{\sqrt{5}}-\cfrac{x}{3}+\sqrt{10}\;

Ejercicio 15 (5'07")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{4}{x^2}-\cfrac{3}{x}+\cfrac{9}{2}\;

Ejercicio 16 (5'47")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{x^3}{4}-\cfrac{3}{x^2}+\cfrac{4}{x}-9\;

Ejercicio 17 (7'19")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{\sqrt[3]{x}}{5}-\cfrac{2}{\sqrt[3]{x}}\;

Ejercicio 18 (6'28")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{x^4-9x^3-3x^2-x+4}{x}\;

Ejercicio 19 (6'58")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=2x^{\frac{3}{2}}+\cfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\cfrac{4}{3}x^{\frac{2}{3}}\;

Ejercicio 20 (9'32")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=4\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x^2}+4\sqrt{x^3}\;

Ejercicio 21 (8'56")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{2}{\sqrt[4]{x^3}}+\cfrac{1}{\sqrt[3]{x}}-\cfrac{3}{x^{-2}}\;

Ejercicio 22 (4'54")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{5}{x^{-3}}+\cfrac{2}{x^4}\;

Ejercicio 23 (11'51")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{3x^2+5x+8}{\sqrt[4]{x}}\;

Ejercicio 24 (5'58")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\left[(2x^4)^3 \right]^2+10x^3\;

video
Ejercicios: Regla de la cadena
Ejercicio 1 (4'18")     Sinopsis:

Halla la derivada de: y=(x+3)^5\;

Ejercicio 2 (3'37")     Sinopsis:

Halla la derivada de: y=(3x^2+4)^5\;

video
Ejercicios: Derivada del producto de funciones
Ejercicio 1 (4'54")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=x^3(3x+1)\;

Ejercicio 2 (7'45")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=(4x^2-\cfrac{1}{2}x)(9x+8)\;

Ejercicio 3 (8'50")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{x}{3} \, (2x+1)^3\;

Ejercicio 4 (11'53")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=(2x+3)\sqrt{x^2+3x}\;

Ejercicio 5 (10'26")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=(3x^2-5)^4(2x^2+1)^3\;

Ejercicio 6 (10'45")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=(6x+3)\sqrt{3x+2}\;

video
Ejercicios: Derivada del cociente de funciones
Ejercicio 1 (6'41")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{2-x}{1+3x^2}\;

Ejercicio 2 (12'02")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{\sqrt{4-3x}}{x^2}\;

Ejercicio 3 (12'08")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{(9x-6)^3}{(27-3x)^2}\;

Ejercicio 4 (15'21")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: No se pudo entender (función desconocida\sqrtt): y=\cfrac{x\sqrtt{x+1}}{x+1}\;

video
Ejercicios: Derivadas de funciones trigonométricas
Ejercicio 1 (3'04")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=-10x+3\,cos \, x\;

Ejercicio 2 (3'59")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{3}{x}+ 5\,sen\,x\;

Ejercicio 3 (3'21")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=x^2\,cos \, x\;

Ejercicio 4 (3'57")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=2x\,sec \, x + 3\;

Ejercicio 5 (4'46")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=tg \, x;

Ejercicio 6 (5'41")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=cotg \, x;

Ejercicio 7 (4'30")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=sec \, x;

Ejercicio 8 (4'40")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=cosec \, x;

Ejercicio 9 (4'10")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=2\,sen\,x \, cos\,x;

Ejercicio 10 (4'14")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=2x\,cos\,x -2\,sen\,x;

Ejercicio 11 (7'30")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=\cfrac{(x-1)^2}{x\,sen\,x};

video
Ejercicios: Derivadas de funciones logarítmicas
Ejercicio 1 (2'44")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=log \, 3x\;

Ejercicio 2 (1'36")     Sinopsis:

Calcula la derivada de: y=ln\,3x;

Continuidad y derivabilidad (5'45")     Sinopsis:

Estudio de la continuidad y de la derivabilidad de una función.

100 videos de derivadas     Descripción:

Videotutoriales para aprender a derivar.

wolfram
Derivadas
wolfram

Actividad: Derivadas

Calcula la derivada de:

a)\; arcsen x^2\;
b)\; tg^2 \cfrac{1}{x}\;
c)\; ln \, \cfrac{1}{x^2}\;
d)\; log_2 (sen \, x)\;

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) Derivate arcsin(x^2)
b) Derivate tan^2(1/x)
c) Derivate log(1/x^2)
d) Derivate log_2(sin x)


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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Reglas de derivación

(pág. 308)

1

(pág. 310)

2 al 11

(pág. 311)

12 al 19

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Reglas_de_derivaci%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"
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