Utilidad de la función derivada (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva
2 Estudio del crecimiento y de los puntos singulares
3 Problemas de optimización
4 Aplicación al cálculo de límites: Regla de L'Hôpital
5 Ejercicios
- 5.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 312)

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Cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva

Proposición

La ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)\;$ en un punto de abscisa $x=a\;$ viene dada por la ecuación:

$y-f(a)=f'(a)(x-a)\;$

Ejemplo: Ecuación de la recta tangente

Dada la función $f(x)=x^2-3\;$ , halla la ecuación de la recta tangente en el punto $x=1\;$ .

Solución:

$f(x)=x^2-3 \ \rightarrow \ f(1)=-2$

$f'(x)=2x \ \rightarrow \ f'(1)=2$

La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto $x_0=1\;$ es:

$y=y_0+m(x-x_0)\;$

$y=f(1)+f'(1)(x-1)\;$

$y=-2+2(x-1)\;$

$y=2x-4\;$

Puedes comprobar el resultado en la siguiente escena:

Ecuación de la recta tangente Descripción:

En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva .

Ejercicio resuelto: Ecuación de la recta tangente

Dada la función $f(x)=\cfrac{x^3-3x^2}{9}$ , halla las ecuaciones de la rectas tangentes que sean paralelas a la bisectriz del primer cuadrante.

Solución:

Hay dos soluciones:

$y=x+\frac{5}{9}$
$y=x-3\;$

Puedes comprobar el resultado en la siguiente escena:

Ecuación de la recta tangente Descripción:

En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva .

Ejercicios: Ecuación de la recta tangente y de la recta normal

Tutorial (11'54") Sinopsis:

Cómo se halla la recta tangente a una curva. Ejemplos.

Ejemplos (10'49") Sinopsis:

Más ejemplos del cálculo de la recta tangente a una curva.

Ejercicio 1 (6'12") Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $y=\cfrac{1}{x-2}\,$ en el punto $P(4,\frac{1}{2})$ .

Ejercicio 2 (12'10") Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $y=3x^2\,ln\,x\, + 4x\,$ en el punto de abscisa 1.

Ejercicio 3 (14'28") Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta normal a la curva $y=\cfrac{3x-1}{x+1}\,$ en el punto de abscisa 3.

Ejercicio 4 (8'23") Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta normal y tangente a la curva $y=x^3+1\,$ en el punto de abscisa 1.

Ejercicio 5 (7'38") Sinopsis:

Hallas las coordenadas del punto de la curva $y=x^2\;$ en el que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Ejercicio 6 (9´38") Sinopsis:

Encontrar los vectores unitarios que son paralelos a la recta tangente a la función $y=x^2\;$ en el punto (2,4).

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Estudio del crecimiento y de los puntos singulares

Procedimiento

Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:

En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.

Estudio del crecimiento

Tutorial 1a (13'02") Sinopsis:

Funciones crecientes y decrecientes

Tutorial 1b (7'19") Sinopsis:

Criterios de crecimiento y decrecimiento

Ejercicio 1a (2'55") Sinopsis:

Estudia el crecimiento de $f(x)=2x+1\;$

Ejercicio 1b (4'01") Sinopsis:

Estudia el crecimiento de $f(x)=x^2+2x-3\;$

Ejercicio 1c (8'31") Sinopsis:

Estudia el crecimiento de $f(x)=\cfrac{x-1}{x^2}\;$

Ejercicio 2 (3'10") Sinopsis:

Demuestra que $f(x)=e^{-tg \, \pi \cdot (x-\frac{1}{2})}$ es positiva y decreciente en el intervalo (0,1).

Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.

Esos puntos pueden ser puntos extremos (máximos o mínimos), pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.

Extremos de una función

Tutorial 1a (11'58") Sinopsis:

Monotonía y extremos relativos

Tutorial 1b (17'13") Sinopsis:

Monotonía y extremos relativos.Ejemplos

Tutorial 2 (23'32") Sinopsis:

¿Qué son los puntos máximos, mínimos, locales y globales, crecimiento y decrecimiento?

Tutorial 3a (13'46") Sinopsis:

Determinación de los extremos relativos

Tutorial 3b (14'45") Sinopsis:

Determinación de máximos y mínimos absolutos

Ejercicio 1 (9'04") Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de $f(x)=x^3+2x^2+x-1\;$

Ejercicio 2a (13'12") Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de $f(x)=2x^3+3x^2-36x\;$

Ejercicio 2b (11'57") Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de $f(x)=4x^3+3x^2-6x+1\;$

Ejercicio 2c (11'34") Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de $f(x)=x^4-2x^2+3\;$

Ejercicio 2d (6'49") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=x^3-3x+2\;$

Ejercicio 2e (7'42") Sinopsis:

Encuentra el valor de "k" tal que $f(x)=x+\cfrac{k}{x}\;$ tenga un máximo local en x=-2.

Ejercicio 3a (4'58") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=x^2-3x+2\;$

Ejercicio 3b (8'11") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=x^3-6x^2+9x\;$

Ejercicio 3c (9'43") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=\cfrac{2}{x^2-x}\;$

Ejercicio 3d (7'52") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=x+\sqrt{1-x}\;$

Ejercicio 3e (7'02") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=x+\cfrac{4}{x}\;$

Ejercicio resuelto: Puntos singulares y crecimiento

Dada la función $f(x)=x^3-6x^2+9x+2\;$ , halla sus puntos singulares y estudia su crecimiento.

Solución:

$f'(x)=3x^2-12x+9\;$

Puntos singulares:

$f'(x)=0 \iff 3x^2-12x+9=0 \iff x=\begin{cases} x_1= 1 \\ x_2=3 \end{cases}$

Para estudiar el crecimiento determinaremos el signo de la función derivada mediante una tabla en la que estableceremos zonas delimitadas por los puntos singulares y por los puntos de discontinuidad, si los hubiese. En nuestro caso hay 3 zonas porque hay 2 puntos singulares y no hay discontinuidades, por tratarse f'(x) de una función polinómica.

             -inf     1       3    +inf       
          -----!------!-------!------!
          f'(x)!  +   !   -   !  +   !
          -----!------!-------!------!
           f(x)! Cre  ! Decre ! Cre  !
          ----------------------------

Como f(1)=6 y f(3)=2, el anterior análisis del crecimiento nos permite determinar que (1,6) es un máximo y (3,2) es un mínimo.

Extremos relativos

Actividad: Extremos relativos

Nota para los cursos de secundaria: Algunas de las siguientes actividades son sólo ilustrativas ya que su resolución manual requiere conocimientos de 1º de bachillerato.

a) Halla los máximos relativos de la función $y=x(40-x)\;$

b) Halla los mínimos relativos de la función $y=x^2+2x+1\;$

c) Halla los extremos relativos (máximos y mínimos relativos) de la función $y=\cfrac{x^3}{3}-x^2-8x\;$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) maxima x(40-x)

b) minima x^2+2x+1

c) extrema x^3/3-x^2-8x

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Problemas de optimización

Un problema de optimización es aquél en el que se pretende averiguar el máximo o el mínimo de una magnitud dada.

Por ejemplo, encontrar el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance...

Procedimiento

Identifica todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.
Escribe una ecuación primaria para la magnitud que debe hacerse máxima o mínima.
Reduce la ecuación primaria a una ecuación que sólo tenga una variable independiente. Este paso te puede exigir el utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. (Las despejas en las secundarias y las sustituyes en la primaria)
Fija el dominio de la ecuación primaria. Ésto es, determina el rango de valores para los que tiene sentido el problema planteado.
Obtén el valor máximo o mínimo solicitado mediante el estudio de los ceros y del crecimiento de la función derivada.

Optimización

Tutorial 1a (16'20") Sinopsis:

Introducción a los problemas de optimización.
Ejemplos.

Tutorial 1b (14'23") Sinopsis:

Problemas de optimización. Ejemplos

Tutorial 2 (09'03") Sinopsis:

Introducción a los problemas de optimización.
Ejemplo 1: Hallar el punto de la parábola $y=\cfrac{x^2}{4}$ más próximo al punto (-1,2).
Ejemplo 2: Hallar el punto de la curva $y^2=4x\,$ más próximo al punto (2,-1).

Ejercicio 1 (17'38") Sinopsis:

Problemas de optimización.

Ejercicio 2a (03'52") Sinopsis:

Determina el punto Q de la parábola $y=x^2\;$ más próximo al punto P(3,0).
Comprueba que la recta QP es perpendicular a la tangente a la parábola en Q.

Ejercicio 2b (04'06") Sinopsis:

De todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, -3), determina la que forma un triángulo de área mínima con la parte positiva del eje de abscisas y la negativa del eje de ordenadas.

Ejercicio 3 (7'11") Sinopsis:

El coste total (en miles de pesos) de pedido y almacenaje de x automóviles es

$C(x)=4x+720+\cfrac{921600}{x}$

Determina el tamaño del pedido que minimiza el coste total.

Ejercicio 4 (13'47") Sinopsis:

Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentra las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, si el perímetro de la misma debe ser 12 metros.

Ejercicio 5 (10'38") Sinopsis:

Se necesita construir una caja sin tapa con una lámina rectangular de largo 24 cm y ancho 12 cm. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado que debe cortarse en cada esquina para maximizar el volumen de la caja? ¿Cuál es el valor de dicho volumen máximo?.

Ejercicio 6 (11'59") Sinopsis:

Optimización del área impresa de un folio bajo ciertas condiciones.

Actividades interactivas: Problemas de optimización

Problema 1: Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base (lado desigual) mide 8 cm y la altura correspondiente 3 cm (suponiendo que un lado del rectángulo está sobre la base del triángulo).

Solución:

Solución al problema 1 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 2: Queremos construir una caja (sin tapa), a partir de una cartulina cuadrada de 6 dm de lado, a la que se recortarán las esquinas. Hallar las dimensiones de las citadas esquinas para que el volumen de la caja sea máximo.

Solución:

Solución al problema 2 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.

Problema 3: Queremos construir una lata de un tercio de litro de capacidad.

¿Cuáles serán las dimensiones de la lata más barata (en cuanto a superficie de hojalata)?.

Solución:

Solución al problema 3 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 4a: De todas las rectas que pasan por el punto (1,2), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Problema 4b: De todas las rectas que pasan por el punto (a,b), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.

Solución:

Solución al problema 4a Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 4b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 5: Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a ese lado de 5 cm. Encontrar un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima.

Solución:

Solución al problema 5 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 6: Dada la función definida en el intervalo [1,e] por $f(x)=\cfrac{1}{x} + ln \, x$ , determina cuáles de las rectas tangentes a su gráfica tiene la máxima pendiente.

Solución:

Solución al problema 6 Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 7a: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. ¿Cuál debe ser la longitud de esa cuerda para que el área del trapecio ABDC sea máxima?

Problema 7b: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. Llamamos E al punto medio del arco CD y dibujamos el pentágono ACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima.

Solución:

Solución al problema 7a Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 7b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 8a: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y corre por la arena a 10 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Problema 8b: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a v1 km/h y corre por la arena a v2 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Solución:

Solución al problema 8a Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 8b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Problema 9a: Divide el número 8 en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

Problema 9b: Divide el número n en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.

(Este es uno de los problemas que Ferrari puso a Tartaglia en su histórico duelo de problemas)

Solución:

Solución al problema 9a Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

Solución al problema 9b Descripción:

Escena de Geogebra para visualizar la solución del problema.

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Aplicación al cálculo de límites: Regla de L'Hôpital

Regla de L'Hôpital

Si al calcular $\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)}$ se presenta una indeterminación del tipo $\cfrac{0}{0}$ ó $\cfrac{\infty}{\infty}$ , y $\lim_{x \to a} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}=l \, ; \ (l \in \mathbb{R})$ , entonces $\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)}=l$ .

Esto también es cierto si $x \to +\infty$ o $x \to -\infty$ .

Demostración:

Demostración (16'32") Sinopsis:

Demostración de la regla de l'Hopital para el caso de indeterminación 0/0.
Ejemplos de aplicación de la regla.
Ejemplos en los que no se puede aplicar la regla por no verificarse las condiciones.

Ejercicio resuelto: Regla de L'Hôpital

Calcula:

a) $\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18}$

b) $\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x}$

c) $\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, x}{x}$

Solución:

a) $\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18} = ind. \left( \cfrac{0}{0} \right)$

Aplicando la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to 3} \cfrac{x^3-5x-12}{x^2+3x-18} = \lim_{x \to 3} \cfrac{3x^2-5}{2x+3}=\cfrac{22}{9}$

b) $\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x} = ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)$

Aplicando la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{2^x} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x^2}{2^x \, ln \, 2}=ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)$

Aplicando la regla de L'Hôpital otra vez:

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x^2}{2^x \, ln \, 2} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x}{2^x \, (ln \, 2)^2}=ind. \left( \cfrac{\infty}{\infty} \right)$

Y aplicando la regla de L'Hôpital una vez más:

$\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x}{2^x \, (ln \, 2)^2} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6}{2^x \, (ln \, 2)^3}=0$

c) $\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, x}{x} = \cfrac{sen \, 0}{0} = ind. \left( \cfrac{0}{0} \right)$

Aplicando la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, x}{x} = \lim_{x \to 0} \cfrac{cos \, x}{1} =\cfrac{cos \, 0}{1} = 1$

Regla de L'Hôpital

Tutorial 1 (11'41") Sinopsis:

Regla de l'Hopital para los casos de indeterminación básicos. Ejemplos.

Tutorial 2 (17'28") Sinopsis:

Regla de l'Hopital para todos los casos de indeterminación. Ejemplos.

Ejercicio 1a (3'14") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^2}{sen\,(\pi x)}$

Ejercicio 1b (5'22") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{n \to +\infty} \left( n \cdot sen\, \cfrac{\pi}{n} \right)$

Ejercicio 1c (3'26") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{ln(1+6x)}{x}$

Ejercicio 1d (2'35") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2+4x}{e^x+2}$

Ejercicio 2a (8'14") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 3} \cfrac{\sqrt{x^2-5}}{x-3}$

Ejercicio 2b (12'07") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{x-sen \, x}{2x^3}$

Ejercicio 2c (9'53") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to -1} \cfrac{x^2+2x+1}{x^4-1}$

Ejercicio 3 (11'07") Sinopsis:

Regla de l'Hopital. Ejemplos en los que hay que aplicarla varias veces.

Límites trigonométricos

Ejercicio 1 (6'09") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{tg \, 10x}{x}$

Ejercicio 2 (4'05") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{t \to 0} \cfrac{sen^3 \, t}{(2t)^3}$

Ejercicio 3 (12'35") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cfrac{tg \, 2x}{x-\frac{\pi}{2}}$

Ejercicio 4 (3'29") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{sen \, 5x}{2x}$

Ejercicio 5 (5'34") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{tg \, x}{sen \, 4x}$

Ejercicio 6 (8'40") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cfrac{\frac{\pi}{2}-x}{cos \, x}$

Ejercicio 7 (5'55") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to \pi} \cfrac{sen \, x}{x- \pi}$

Ejercicio 7 (7'23") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{t \to 0} \cfrac{tg \, 6t}{sen \, 2t}$

Ejercicio 8 (5'46") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{\theta \to 0} \cfrac{sen \, \theta}{\theta + tg \, \theta}$

Ejercicio 9 (9'29") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{tg \, 2x}{x+ sen \, x}$

Ejercicio 10 (5'24") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{arcsen \, x}{x}$

Ejercicio 11 (13'03") Sinopsis:

Calcula: $\lim_{x \to 0} \cfrac{arctg \, x}{x}$

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Ejercicios

Problema (4'18") Sinopsis:

Si el lado de un cuadrado aumenta a una velocidad constante de 3cm/seg, halla la velocidad a la que aumenta el área del cudrado cuando el lado mide 12 cm, y calcula el valor del lado cuando el área crece a 60 cm²/seg.

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