Regla de Ruffini (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Cociente de monomios
2 División de polinomios
- 2.1 División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini

Cociente de monomios

Entenderemos la división de monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.

$\frac{ax^m} {bx^n}= \frac{a} {b} x^{m-n}$

Ejemplos: Cociente de monomios

Calcula:

a) $4ax^4y^3 : 2x^2y \;\!$

b) $6x^4y : 2ax^3 \;\!$

Solución:

a) $4ax^4y^3 : 2x^2y = \cfrac {4ax^4y^3}{2x^2y}=2ax^2y^2$

b) $6x^4y : 2ax^3 =\cfrac {6x^4y}{2ax^3}=\cfrac {3xy}{a}$

División de polinomios

La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la división numérica.

Dados dos polinomios $P(x)\;$ (dividendo) y $Q(x)\;$ (divisor) de modo que el grado de $P(x)\;$ sea mayor o igual que el grado de $Q(x)\;$ y el grado de $Q(x)\;$ sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios $C(x)\;$ (cociente) y $R(x)\;$ (resto) tales que:

$P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,$

dividendo = divisor × cociente + resto

que también podemos representar como:

$\begin{matrix} P(x) \ | \ Q(x) \\ \qquad \quad |--- \, \\ R(x) \quad C(x) \end{matrix}$

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

Ejemplo: División de polinomios

Divide los siguientes polinomios:

$P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, \, x - 3\;$

$Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;$

Solución:

$\begin{matrix} 3x^{4} - 2x^3 + 4x^2 + 2x - 3 \quad | \quad x-2 \qquad \quad \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad \; \, \, \, |-------- \quad \\ -3x^4 + 6x^3 + 3x^2 \qquad \qquad \quad \quad 3x^{2} + 4x +15 \; \, \\ -------- \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ 4x^3 + 7x^2 + 2x -3 \qquad \qquad \quad \\ -4x^3 + 8x^2 + 4x \qquad \qquad \qquad \quad \; \, \\ ---------- \qquad \qquad \qquad \\ ~15x^2 + ~6x -~3 \quad \quad \; \, \\ -15x^2 + 30x + 15 \quad \quad \; \, \, \\ --------- \qquad \quad \\ \quad \ 36x+12 \end{matrix}$

División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma $(x-r)\;$ , siendo $r\;$ un número entero.

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

Demostración:

Vamos a dividir el polinomio

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

entre el binomio

$Q(x)=x-r\,\!$

para obtener el cociente

$C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0$

y el resto $s\;$ .

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de $P(x)\;$ y los escribimos ordenados. Entonces escribimos $r\;$ en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & & & & & \\ ~~ \, | & & & & & \end{matrix}$

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, $a_n\;$ , justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes $b_{n-1}\;$ :

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}$

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r\; y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & b_{n-1} \ r & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}$

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & & & \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & & \end{matrix}$

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & \cdots & rb_1 & rb_0 \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & \cdots & a_1+rb_1 & a_0 +rb_0 \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s \end{matrix}$

Los valores $b_i\;$ son los coeficientes del polinomio resultante $C(x)\;$ , el grado será menor que el grado de $P(x)\;$ . El resto será $s\;$ .

Ejemplo: Regla de Ruffini

Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:

$P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!$

$Q(x)=x-2\,\!$

Solución:

  | 7  -5  -4   6  -1
   |                   
 2|    14  18  28  68
 --|-------------------
  | 7   9  14  34 |67
                    |____

El resultado significa que:

Cociente de la división: $C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!$
Resto: $r=67\,\!$

Operaciones:

$2 \cdot 7=14\,\!$

$-5+14=9\,\!$

$2 \cdot 9 =18\,\!$

$-4+18=14\,\!$

$2\cdot 14=28\,\!$

$6+28=34\,\!$

$2 \cdot 34=68\,\!$

$-1+68=67\,\!$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Regla_de_Ruffini_%284%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

 {{p}}
 ===División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini===
-<div style="background: white; border: 2px solid Goldenrod;border: 2px solid Goldenrod;border-left: 4px solid Goldenrod;border-bottom: 4px solid Goldenrod; padding:.75em;">
+{{Teorema|titulo=
-[[Image:Teorema.PNG|44px|left|ejercicio]]
+''Regla de Ruffini''
-<font color="SaddleBrown">'''Regla de Ruffini'''</font>
+|enunciado=
-----
 La '''Regla de Ruffini''' nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma <math>(x-r)\;</math>, siendo <math>r\;</math> un número entero.
 Debemos esta regla al matemático italiano [[Ruffini|Paolo Ruffini]],
-<div class="NavFrame" style="background: white; border: 0px solid #aaaaaa; padding:3px; margin-bottom:0em; margin-left:0em;">
-<div class="NavHead rad" align="right" style="background: WhiteSmoke;">''Demostración:''</div><div class="NavContent" align="left">
+|demo=
-----
 Vamos a dividir el polinomio
 y el resto <math>s\;</math>.
-. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de <math>P(x)\;</math> y los escribimos ordenados. Entonces escribimos ''r'' en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:
+. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de <math>P(x)\;</math> y los escribimos ordenados. Entonces escribimos <math>r\;</math> en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:
-     |        a<sub>n</sub>        a<sub>n-1</sub>       ...        a<sub>1</sub>         a<sub>0</sub>
+<center><math>\begin{matrix}
-     |
+~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0
-  r  |
+\\
- ----|---------------------------------------------------------
+r~ | &  &  &  &   &
-     |
+\\
-     |
+---&-----&-----&-----&-----&-----
-. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (''a''<sub>''n''</sub>) abajo, justo debajo de la línea para obtener el primero de los coeficientes ''b'':
+\\
+~~ \, | &  &  &  &   &
+\\
+~~ \, | &  &  &  &   &
+\end{matrix}</math></center>
+. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, <math>a_n\;</math>, justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes <math>b_{n-1}\;</math>:
+<center><math>\begin{matrix}
+~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0
+\\
+r~ | &  &  &  &   &
+\\
+---&-----&-----&-----&-----&-----
+\\
+~~ \, | & a_n &  &  &  &
+\\
+~~ \, | & =b_{n-1} &  &  &   &
+\end{matrix}</math></center>
+. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r\; y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:
+<center><math>\begin{matrix}
+~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0
+\\
+r~ | &  & b_{n-1} \ r &  &   &
+\\
+---&-----&-----&-----&-----&-----
+\\
+~~ \, | & a_n &  &  &  &
+\\
+~~ \, | & =b_{n-1} &  &  &   &
+\end{matrix}</math></center>
-     |        a<sub>n</sub>        a<sub>n-1</sub>       ...        a<sub>1</sub>         a<sub>0</sub>
-     |
-   r |
- ----|---------------------------------------------------------
-     |        a<sub>n</sub>
-     |
-     |      = b<sub>n-1</sub>
-     |
-. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por ''r'' y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:
-     |        a<sub>n</sub>        a<sub>n-1</sub>       ...        a<sub>1</sub>         a<sub>0</sub>
-     |
-   r |                  b<sub>n-1</sub>r
- ----|---------------------------------------------------------
-     |        a<sub>n</sub>
-     |
-     |      = b<sub>n-1</sub>
-     |
 . Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:
-     |        a<sub>n</sub>        a<sub>n-1</sub>       ...        a<sub>1</sub>         a<sub>0</sub>
-     |
+<center><math>\begin{matrix}
-   r |                  b<sub>n-1</sub>r
+~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0
- ----|---------------------------------------------------------
+\\
-     |        a<sub>n</sub>     a<sub>n-1</sub>+(b<sub>n-1</sub>r)
+r~ | &  & rb_{n-1} &  &   &
-     |
+\\
-     |      = b<sub>n-1</sub>     = b<sub>n-2</sub>
+---&-----&------&-----&-----&-----
-     |
+\\
+~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} &  &  &
+\\
+~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2}  &  &   &
+\end{matrix}</math></center>
 . Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:
-     |        a<sub>n</sub>        a<sub>n-1</sub>       ...        a<sub>1</sub>         a<sub>0</sub>
-     |
-   r |                  b<sub>n-1</sub>r      ...        b<sub>1</sub>r        b<sub>0</sub>r
- ----|---------------------------------------------------------
-     |        a<sub>n</sub>     a<sub>n-1</sub>+(b<sub>n-1</sub>r)  ...       a<sub>1</sub>+b<sub>1</sub>r       a<sub>0</sub>+b<sub>0</sub>r
-     |
-     |      = b<sub>n-1</sub>     = b<sub>n-2</sub>      ...       = b<sub>0</sub>        = s
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-Los valores <math>b_i\;</math> son los coeficientes del polinomio resultante <math>C(x)\;</math>, el grado será menor que el grado de <math>P(x)\;</math>. El resto será <math>s\;</math>.
+<center><math>\begin{matrix}
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+Los valores <math>b_i\;</math> son los coeficientes del polinomio resultante <math>C(x)\;</math>, el grado será menor que el grado de <math>P(x)\;</math>. El resto será <math>s\;</math>.
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