Plantilla:Raíces
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- | *Toda raíz se puede expresar como una potencia cuya base es el radicando, <math>a\;\!</math>, y el exponente es <math>\cfrac{1}{n}</math>, siendo <math>n\;\!</math> el índice de la raíz. Ésto es:{{p}} | + | Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:{{p}} |
- | {{Caja|contenido=<math>\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}</math>}} | + | |
- | *De forma similar, también se cumple:{{p}} | + | |
{{Caja|contenido=<math>\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}</math>}} | {{Caja|contenido=<math>\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}</math>}} | ||
|demo= | |demo= | ||
- | Para la primera parte, basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz. | + | Basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz: |
- | + | ||
- | <center><math>(a^\frac{1}{n})^n=a^{\frac{1}{n} \cdot n}=a^1=a</math></center> | + | |
- | + | ||
- | Para la segunda parte, haremos una comprobación análoga: | + | |
<center><math>(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m</math></center> | <center><math>(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m</math></center> |
Revisión de 23:47 14 ene 2009
Tabla de contenidos |
Definición
Sabemos que . Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como
y se lee "3 es igual a la raíz cuadrada de 9".
- Se define la raíz cuadrada de un número
como otro número
tal que
.
Y escribimos:
![b=\sqrt{a}](/wikipedia/images/math/d/f/b/dfb3a2e687c527c68d03a8a14b8b1427.png)
- Se define la raíz cúbica de un número
como otro número
tal que
.
Y escribimos:
![b=\sqrt[3]{a}](/wikipedia/images/math/6/0/0/60067ca3ef9f9cd5db25de80fbfcb000.png)
- Igualmente, se define raíz n-sima de un número
como otro número
tal que
.
Y escribimos:
![b=\sqrt[n]{a}](/wikipedia/images/math/c/e/0/ce05f9d287d25fe0a5fd8e680bd177f5.png)
El número se llama radicando, el número
, índice y
es la raíz.
Propiedades
y
, para cualquier valor del índice
.
- Si
,
existe cualquiera que sea el índice
.
- Si
,
sólo existe si el índice
es impar.
- Si el índice
es par y el radicando
, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando
.
.
.
porque
.
porque
.
porque
.
porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).
Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:
Raíces exactas e inexactas
Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.
Ejemplo: Raíces exactas e inexactas
- Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:
a) Descomponemos .
Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:
![\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6](/wikipedia/images/math/4/a/b/4ab09f3247f4181f74270a6db537c4a3.png)
Luego es racional.
b) Descomponemos .
Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:
![\sqrt[4]{0'0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\cfrac{2^2}{10^1}=\cfrac{4}{10}=0'4](/wikipedia/images/math/9/7/1/971bba665f246bea65b83612ca682e78.png)
Luego es racional.
c) Descomponemos .
La potencia de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.
Luego![\sqrt[3]{192}](/wikipedia/images/math/b/d/f/bdfe841e1073096ee42922125fc7e19d.png)
La raíz como potencia de exponente fraccionario
Proposición
Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:
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Basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz:
![(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m](/wikipedia/images/math/2/1/f/21fac79fcc6243fefc3448f1dae31079.png)
Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:
Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario
- Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:
Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.
Propiedades: Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.