Funciones logarítmicas (1ºBach)
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| - | <center>'''a)''' <math>y = log_2 \, x\;</math> (en verde);{{b4}}'''b)''' <math>y = log_3 \, x\;</math> (en amarillo);{{b4}}'''c)''' <math>y = log_{\frac{1}{2}} \, x\;</math> (en rojo);{{b4}}'''d)''' <math>y = log_{\frac{1}{3}} \, x\;</math> (en turquesa)</center> | + | <center>'''a)''' <math>y = log_2 \, x\;</math> (en amarillo);{{b4}}'''b)''' <math>y = a^x \;</math> (en verde)</center> |
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| - | Comprueba en la escena anterior las siguientes propiedades: | + | Cambia con los controles el valor de <math>a\;</math> (no olvides pulsar "Intro") y comprueba en la escena anterior las siguientes propiedades: |
| * Todas pasan por los punto <math>(1,0)\;</math> y <math>(a,1)\;</math>, donde <math>a\;</math> es la base. | * Todas pasan por los punto <math>(1,0)\;</math> y <math>(a,1)\;</math>, donde <math>a\;</math> es la base. | ||
| * Si la base <math>a>1\;</math>, son crecientes y si <math>0<a<1\;</math> decrecientes. | * Si la base <math>a>1\;</math>, son crecientes y si <math>0<a<1\;</math> decrecientes. | ||
| * Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base. | * Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base. | ||
| - | * Las gráficas a) y c) son simétricas respecto del eje X. Lo mismo ocurre con b) y d). | + | * Las gráficas son simétricas respecto de la recta <math>y=x</math> (en rojo). |
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| - | Prueba a cambiar también las funciones por otras. No olvides pulsar "Intro" al cambiar cada función. | ||
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Revisión de 17:32 25 ene 2009
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Tabla de contenidos |
Función logarítmica de base a
Sea 
un número real. Se define la función logarítmica de base 
como:
La función logarítmica de base 
(número e) es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por 
.
La función logarítmica de base también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por 
(sin especificar la base).
 Actividad Interactiva: Función logarítmica
Actividad 1. Representación gráfica de distintas funciones logarítimicas y comparación con la función exponencial con la misma base.
Actividad: En esta escena tienes las gráfica de las funciones: a)
 (en amarillo); b)  (en verde)Cambia con los controles el valor de
|
y 
, donde Propiedades
Las funciones exponenciales de base cumplen las siguientes propiedades:
- Son continuas en
.
- Pasan por
y 
.
- Si
son crecientes y si 
son decrecientes. Su crecicmiento supera al de cualquier función potencia.
- Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).
El crecimiento exponencial
El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud  Donde:
Esta expresión también podemos ponerla como una función exponencial de base  |  |
que crece con el tiempo 
es valor de la magnitud en el instante 
es el valor inicial de la variable, valor en 
, cuando empezamos a medirla;
;
.
- El ajedrez y los granos de trigo
Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición. El número de granos de trigo era:
una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino.
Los sumandos de esta expresión responderían, en la notación matemática actual, a la función 
, para el dominio x = 1, 2, 3, ..., 64.
- El interés continuo
El capital obtenido de la inversión de un capital inicial 
a un interés compuesto 
en 
periodos anuales sigue la fórmula:
siendo 
el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión.
Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:
- Desintegración radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si 
es la cantidad inicial de sustancia y 
la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo será:
- Crecimiento demográfico
Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. siendo 
la población inicial e 
el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial:
Calculadora
Exponencial de base 10
 Calculadora: Exponencial de base 10 Para calcular Ejemplo:
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usaremos la tecla 
Exponencial de base e
Calculadora: Exponencial de base e Para calcular Ejemplo:
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usaremos la tecla 
