Funciones logarítmicas (1ºBach)

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 18:53 25 ene 2009

Tabla de contenidos

1 Función logarítmica de base a
- 1.1 Propiedades
- 1.2 El modelo logarítmico
2 Calculadora
- 2.1 Exponencial de base 10
- 2.2 Exponencial de base e

Función logarítmica de base a

Sea $a>0 \ , (a \ne 1)$ un número real. Se define la función logarítmica de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \quad \\ \, \quad x & \rightarrow & log_a \, x \end{matrix}$

La función logarítmica de base $e = 2,7182...\;$ (número e) es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por $ln \, x$ . La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por $log \, x$ (sin especificar la base).

Actividad Interactiva: Función logarítmica

Actividad 1. Representación gráfica de distintas funciones logarítimicas y comparación con la función exponencial con la misma base.

Actividad:

En esta escena tienes las gráfica de las funciones:

a) $y = log_2 \, x\;$ (en amarillo); b) $y = a^x \;$ (en verde)

Click aquí si no se ve bien la escena

Cambia con los controles el valor de $a\;$ (no olvides pulsar "Intro") y comprueba en la escena anterior que las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

Todas pasan por los punto $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ , donde $a\;$ es la base.
Si la base $a>1\;$ , son crecientes y si $0<a<1\;$ decrecientes.
Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.
Las gráficas son simétricas respecto de la recta $y = x$ (en rojo).

Propiedades

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en $\mathbb{R}{}_*^+$ .
Pasan por $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ .
Si $a>1\;$ son crecientes y si $0<a<1\;$ son decrecientes. Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice $\sqrt[n]{x}$ .
La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .

El modelo logarítmico

Ejemplo: Modelo logarítmico

Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como

$k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)$

donde $S\;$ es la intensidad subjetiva del estímulo, $I\;$ la intensida física del estímulo, $I_0\;$ la intensidad física umbral y $k\;$ es una constante que difiere en cada estímulo sensorial.

Por ejemplo, la percepción de la sonoridad $B\;$ , en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física $I\;$ en $W / m 2$ está dada por

$B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)$

donde $I_0\;$ la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física $I\;$ es 100 veces la de $I_0\;$ .

Solución:

Partimos del hecho de que $I= 100 \, I_0$ , entonces, sustituyendo en la fórmula de la percepción sonora, tendremos:

$B = 10 \, log \left( \cfrac{I}{I_0} \right)= \ 10 \, log \left( \cfrac{100 \,I_0}{I_0} \right) = 10 \, log 100 = 10 \cdot 2 = 20$

Solución: La sonoridad del sonido es 20 db

Calculadora

Exponencial de base 10

Calculadora: Exponencial de base 10

Para calcular $10^x\;$ usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $10^4\;$

Procedimiento: $4\;\!$

Solución: $10000\;\!$

Exponencial de base e

Calculadora: Exponencial de base e

Para calcular $e^x\;$ usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $e^2\;\!$

Procedimiento: $2\;\!$

Solución: $7,38905 \;\!$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Funciones_logar%C3%ADtmicas_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

 ===El modelo logarítmico===
-{{Tabla75
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Modelo logarítmico''
-|celda2=[[Image:Exponential.png|thumb|right|300px|Comparación entre el crecimiento lineal (rojo), crecimiento potencial (azul) y crecimiento exponencial (verde)]]
+|enunciado=Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como
-|celda1=
-{{Caja_Amarilla
-|texto=El término '''crecimiento exponencial''' se aplica generalmente a una magnitud <math>M\;</math> que crece con el tiempo <math>t\;</math> de acuerdo con la ecuación:
-<center><math>M_t = M_0 \cdot e^{rt} \,</math></center>
+<center><math>k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)</math></center>
-Donde:
+donde <math>S\;</math> es la intensidad subjetiva del estímulo, <math>I\;</math> la intensida física del estímulo, <math>I_0\;</math> la intensidad física umbral y <math>k\;</math> es una constante que difiere en cada estímulo sensorial.
-*<math>M_t\;</math> es valor de la magnitud en el instante <math>t\;</math> > 0;
-*<math>M_0\;</math> es el valor inicial de la variable, valor en <math>t = 0\;</math>, cuando empezamos a medirla;
-*<math>r\;</math> es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre <math>t = 0\;</math> y <math>t > 0\;</math>;
-*<math>e = 2,7182...\;</math> (número e)
+Por ejemplo, la percepción de la sonoridad <math>B\;</math>, en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física <math>I\;</math> en <math> W/m^2</math> está dada por
-Esta expresión también podemos ponerla como una función exponencial de base <math>a\;</math> haciendo <math>r=ln(a)\;</math>.
+<center><math>B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)</math></center>
-<center><math>M_t=M_0 \cdot a^t\;</math></center>
+donde <math>I_0\;</math> la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física <math>I\;</math> es 100 veces la de <math>I_0\;</math>.
+|sol=
+Partimos del hecho de que <math>I= 100 \, I_0</math>, entonces, sustituyendo en la fórmula de la percepción sonora, tendremos:
+<center><math>
+B  =  10 \, log \left( \cfrac{I}{I_0} \right)= \ 10 \, log \left( \cfrac{100 \,I_0}{I_0} \right) = 10 \, log 100 = 10 \cdot 2 = 20
+</math></center>
+'''''Solución:''''' La sonoridad del sonido es 20 db
 }}
-}}
-{{p}}
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:|contenido=
-*'''El ajedrez y los granos de trigo'''
-Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición. El número de granos de trigo era:
-<center><math>2^{64}+ 2^63 + ... + 2^2 + 2\;</math></center>
-una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino.
-Los sumandos de esta expresión responderían, en la notación matemática actual, a la función <math>2^x\;</math>, para el dominio x = 1, 2, 3, ..., 64.
-*'''El interés continuo'''
-El capital obtenido de la inversión de un capital inicial <math>C_0\;</math> a un interés compuesto <math>r\;</math> en <math>n\;</math> periodos anuales sigue la fórmula:
-<center><math>C_t = C_0 \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}</math></center>
-siendo <math>t\;</math> el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión.
-Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:
-<center><math>C_t = C_0 \cdot e^{rt}\;</math></center>
-*'''Desintegración radiactiva'''
-Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si <math>R_0\;</math> es la cantidad inicial de sustancia y <math>k\;</math> la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo <math>t\;</math> será:
-<center><math>R_t = R_0 \cdot e^{-kt}</math></center>
-*'''Crecimiento demográfico'''
-Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. siendo <math>P_0\;</math> la población inicial e <math>i\;</math> el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial:
-<center><math>P_t = P_0 \cdot e^{it}</math></center>
-}}
 {{p}}
+{{p}}
 ==Calculadora==

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