Distancias en el plano (1ºBach)

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Línea 43: Línea 43:
Sea <math>R(x_0,y_0)\,</math> un punto de la recta. Sea <math>R(x_0,y_0)\,</math> un punto de la recta.
-Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, sabemos que <math>proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|}</math> (I)+Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, sabemos que {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|}</math>}}
-Llamando {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n}=(A,B)</math>}}, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{RP}=(a-x_0,b-y_0)</math>}}+Llamando {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n}=(A,B)</math>}}, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{RP}=(a-x_0,b-y_0)</math>}}
 + 
 +:<math>d(P,R)=|proy_{\overrightarrow{n}}\overrightarrow{RP}|=\cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{RP}|}{|\overrightarrow{n}|}=\cfrac{|(A,B) \cdot (a-x_0,b-y_0)|}{|(A,B)|}=</math>
 +:<math>=\cfrac{|A(a-x_0)+B(b-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb-(Ax_0+By_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}</math>
-:<math>d(P,R)=proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=\cfrac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{RP}}{|\overrightarrow{n}|}=\cfrac{|(A,B) \cdot (a-x_0,b-y_0)}{|(A,B)|}=</math> 
-:<math>=\cfrac{|A(a-x_0)+B(b-y_0)}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb-(Ax_0+By_0)}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb+C)}{\sqrt{A^2+B^2}}</math> 
ya que <math>Ax_0+By_0=-C\,</math>, por ser <math>R(x_0,y_0)\,</math> un punto de la recta. ya que <math>Ax_0+By_0=-C\,</math>, por ser <math>R(x_0,y_0)\,</math> un punto de la recta.

Revisión de 22:41 23 mar 2009

Distancia ente dos puntos

La distancia entre dos puntos P(x_1,y_1)\, y Q(x_2,y_2)\, es igual al módulo del vector \overrightarrow{PQ}:

d(PQ)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

ejercicio

Actividad Interactiva: Distancia entre dos puntos


Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la distancia entre los puntos P(3,-1)\, y Q(-1,2)\,.

Distancia de un punto a una recta

ejercicio

Proposición


La distancia del punto P(a,b)\, a la recta r: \, Ax+By+C=0 es:

d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

ejercicio

Actividad Interactiva: Distancia de un punto a una recta


Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la distancia del punto P(-5,8)\, a la recta r: \, 2x-6y+7=0.

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