Medida de la correlación (1ºBach)

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En el apartado anterior hemos visto de manera intuitiva como puede ser la correlación ente dos variables dependiendo del agrupamiento de los puntos de la nube en torno a una recta. Ahora vamos a ver cómo se puede cuantificar dicha correlación mediante un parámetro que denominaremos coeficiente de correlación.

Dada una distribución bidimensional de cuyas variables $\;(X,Y)$ tenemos $\;n$ valores observados:

$\{ \,(x_1, y_1), (x_2,y_2),...,(x_n,y_n) \,\}$

Tabla de contenidos

1 Centro de gravedad de una distribución bidimensional
2 Covarianza
3 Coeficiente de correlación
- 3.1 Propiedades del coeficiente de correlación

Centro de gravedad de una distribución bidimensional

Llamaremos centro de gravedad de la distribución al punto $(\overline{x} , \overline{y})$ cuyas coordenadas son las medias de las distribuciones unidimensionales de X e Y:

$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \qquad \overline{y}=\frac{\sum_{i=1}^n y_i}{n}$

Covarianza

Se llama covarianza de la distribución al parámetro:

$\sigma_{xy}=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})((y_i-\overline{y})}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i}{n}-\overline{x} \overline{y}$

Coeficiente de correlación

Llamaremos coeficiente de correlación entre las dos variables al parámetro:

$r= \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$

donde $σ x y$ es la covarianza y $σ x,σ y$ son las desviaciones típicas de las distribuciones unidimensionales de X e Y:

$\sigma_x=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n}-\overline{x}^2} \qquad \sigma_y=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n y_i^2}{n}-\overline{y}^2}$

Propiedades del coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación tiene las siguientes propiedades:

No tiene dimensiones, es decir, no depende de las unidades en las que vengan dadas las variables.
Está comprendido entre -1 y 1: $|r| \le 1$
Cuanto más fuerte sea la correlación más próximo a 1 estará $|r| \,$ y cuanto más débil sea la correlación más próximo a 0 estará $|r| \,$ .
Si $|r|>0 \,$ la correlación será positiva y si $|r|<0 \,$ la correlación será negativa.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Medida_de_la_correlaci%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

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-==Correlación==
+==Coeficiente de correlación==
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+===Propiedades del coeficiente de correlación===
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+* No tiene dimensiones, es decir, no depende de las unidades en las que vengan dadas las variables.
+* Está comprendido entre -1 y 1: <math>|r| \le 1 </math>
+* Cuanto más fuerte sea la correlación más próximo a 1 estará <math>|r| \,</math> y cuanto más débil sea la correlación más próximo a 0 estará <math>|r| \,</math>.
+* Si <math>|r|>0 \,</math> la correlación será positiva y si <math>|r|<0 \,</math> la correlación será negativa.
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