Plantilla:Ecuaciones bicuadradas

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Revisión de 14:01 29 ago 2016

Las ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable $x^2=y\,\!$ . Entonces, la ecuación quedará como una de segundo grado

$ay^2 + by + c = 0 \,\!$

Una vez resuelta esta ecuación en $y\;$ , tenemos que averiguar el valor de la $x\;$ . Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo $x=\pm \sqrt{y}$ . En consecuencia, las soluciones $y<0\,\!$ , las rechazaremos, ya que no darán solución para la $x\,\!$ , quedándonos sólo con las soluciones de $y\,\!$ no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la $x\,\!$ .

Ejemplo: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) $x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!$

b) $x^4 - 3x^2 - 10 = 0\;\!$

c) $x^4 - 9x^2 = 0 \;\!$

Solución:

$x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-7y+6=0$

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=6 \rightarrow x= \pm \sqrt 6 \end{cases}$

Soluciones: $-1,\, 1,\, -\sqrt 6,\, \sqrt 6\,\!$

$x^4 - 3x^2 - 10 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-3y-10=0$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}=\frac{3 \pm 7}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-2 \rightarrow \mbox {No existe solucion para x} \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}$

Soluciones: $-\sqrt 5,\, \sqrt 5\,\!$

$x^4 - 9x^2 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-9y=0$

$y(y-9)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}$

Soluciones: $0,\, -3,\, 3\,\!$

Videotutoriales

Ecuaciones bicuadradas (5´48") Sinopsis:

Método de resolución de ecuaciones bicuadradas.

5 ejercicios (5´16") Sinopsis:

Videotutorial

Actividad: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

$a)\ x^4-5x^2+4=0 \quad b)\ 4x^2-25=0 \quad c)\ x^4+3x^2+2=0$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve x^4-5x^2+4=0 b) solve x^4+3x^2-4=0 over the reals c) solve x^4+3x^2+2=0 over the reals

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ecuaciones_bicuadradas"

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