Plantilla:Ecuaciones bicuadradas

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 07:01 30 ago 2016

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

Resolución de la ecuación bicuadrada

Resolución de la ecuación bicuadrada

El método para resolver una ecuación bicuadrada

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

consiste en hacer el cambio de variable $x^2=y\,\!$ . Entonces, la ecuación quedará como una de segundo grado

$ay^2 + by + c = 0 \,\!$

Una vez resuelta esta ecuación en $y\;$ , tenemos que averiguar el valor de la $x\;$ . Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo $x=\pm \sqrt{y}$ . En consecuencia, las soluciones $y<0\,\!$ , las rechazaremos, ya que no darán solución para la $x\,\!$ , quedándonos sólo con las soluciones de $y\,\!$ no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la $x\,\!$ .

En consecuencia, una ecuación bicuadrada tendrá como máximo cuatro soluciones reales.

Ejercicios resueltos: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0\;\!$

b) $x^4 - 2x^2 - 3 = 0\;\!$

c) $x^4 - 5x^2 = 0 \;\!$

Solución:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-10y+9=0$

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{2}=\frac{10 \pm 8}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}$

Soluciones: $-1,\, 1,\, -3,\, 3 \!$

$x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-2y-3=0$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2 \pm 4}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-1 \rightarrow \mbox {No existe solucion para x} \\ y=3 \rightarrow x= \pm \sqrt 3 \end{cases}$

Soluciones: $-\sqrt 3,\, \sqrt 3\,\!$

$x^4 - 5x^2 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-5y=0$

$y(y-5)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}$

Soluciones: $0,\, -\sqrt 5,\, \sqrt 5\ \!$

Videotutoriales

Ecuaciones bicuadradas (5´48") Sinopsis:

Método de resolución de ecuaciones bicuadradas.
Ejemplos.

5 ejercicios (5´16") Sinopsis:

Resolución de las siguientes ecuaciones:

x 4 + 3 x 2 - 4 = 0

x 4 - 9 x 2 = 0

x 4 - 9 = 0

x 4 + 5 = 0

x 6 - 9 x 3 + 8 = 0

Actividad: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $x^4-5x^2+4=0 \;$

b) $x^4+3x^2+2=0 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve x^4-5x^2+4=0

b) solve x^4+3x^2+2=0 over the reals

Ejercicios

Ejercicios propuestos: Ecuaciones bicuadradas

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $x^4-x^2-12=0 \;$

b) $x^4-8x^2-9=0 \;$

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $x^4+10x^2+9=0 \;$

b) $x^4-x^2-2=0 \;$

Solución:

Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones:

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ecuaciones_bicuadradas"

 }}
 {{p}}
-'''Resolución:''' El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable <math>x^2=y\,\!</math>. Entonces, la ecuación quedará como una de segundo grado
+===Resolución de la ecuación bicuadrada===
+{{Teorema_sin_demo
+|titulo=Resolución de la ecuación bicuadrada
+|enunciado=
+El método para resolver una ecuación bicuadrada
+<center><math>ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!</math></center>
+consiste en hacer el cambio de variable <math>x^2=y\,\!</math>. Entonces, la ecuación quedará como una de segundo grado
 <center><math>ay^2 + by + c = 0 \,\!</math></center>
 Una vez resuelta esta ecuación en <math>y\;</math>, tenemos que averiguar el valor de la <math>x\;</math>. Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo <math>x=\pm \sqrt{y}</math>. En consecuencia, las soluciones <math>y<0\,\!</math>, las rechazaremos, ya que no darán solución para la <math>x\,\!</math>, quedándonos sólo con las soluciones de <math>y\,\!</math> no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la <math>x\,\!</math>.
+En consecuencia, una ecuación bicuadrada tendrá como máximo cuatro soluciones reales.
+}}
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 {{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos: ''Ecuaciones bicuadradas''

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