Plantilla:Método de Gauss (1ºBACH)

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Revisión de 10:15 31 ago 2016

Tabla de contenidos

1 Sistema escalonado
2 Método reducción de Gauss
- 2.1 Videotutoriales
3 Discusión de sistemas
4 Método de Gauss con matrices (Ampliación)
5 Ejercicios

Sistema escalonado

Un sistema de ecuaciones se dice que es escalonado si cada ecuación tiene una incógnita más que la siguiente.

Ejemplos:

El siguiente sistema es escalonado:

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ \quad -2y \, - 2z & = & -4 \\ \qquad \quad - \, 2z & = & -2 \end{matrix} \right.$

También lo es este otro:

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~5 \\ \quad -3y \, + 7z & = & -1 \end{matrix} \right.$

Método reducción de Gauss

El método de Gauss, que se debe al matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, es una generalización del método de reducción para sistemas 2x2. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado.

Gauss, de lo real a lo imaginario (22´) Sinopsis:

Principios del siglo XIX. Un joven matemático acaba de resolver un problema de más de 2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Esta va a ser una de las primeras anotaciones que hará en una vieja libreta de 19 páginas. Al final de su vida las anotaciones no llegarán a 50, pero sin duda esta libreta será el sueño de cualquier matemático del siglo XIX. Las aportaciones que en ella se reflejan contienen el suficiente material para mantener ocupados a todos los matemáticos del siglo.

Sin embargo la fama de este joven, Gauss le va a venir de los cielos. A finales de 1800 los astrónomos descubren un nuevo objeto celeste. No se trata de un cometa, bien podía ser el planeta buscado tantos años entre Marte y Júpiter. Por desgracia se le pierde la pista. Pero con las pocas observaciones realizadas, Gauss se pone a la tarea de deducir su órbita y señala el lugar del cielo hacia donde apuntar los telescopios un año más tarde. Y en efecto alli aparece Ceres.

Las increíbles aportaciones de Gauss no se limitan al mundo de las Matemáticas y de la Astronomía. Junto a Weber va a poner en marcha el primer telégrafo operativo unos años antes que el de Morse. En magnetismo también nos ha dejado su huella: el primer mapa magnético de la Tierra es obra suya. No es inmerecido el título de Príncipe de los Matemáticos, aunque reinó en casi todas las ciencias.

Criterios de equivalencia de sistemas

Los criterios de equivalencia de sistemas nos dicen las "operaciones" que podemos realizar sobre las ecuaciones del sistema inicial para transformarlo en otro equivalente. Son los siguientes:
- Multiplicar o dividir una ecuación por un número real distinto de cero.
- Sumar o restar a los dos miembros de una ecuación la misma expresión.
- Sumarle a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número. (Como caso particular: Sumarle o restarle a una ecuación otra ecuación)
- Cambiar el orden de las ecuaciones.
- Cambiar el orden de las incógnitas del sistema.
- Eliminar ecuaciones nulas (0=0).
- Eliminar una ecuación que sea idéntica o proporcional a otra.

Ejemplo: Método de reducción de Gauss

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1 \\ x \, - \, y \, - \, z & = & -1 \end{matrix} \right.$

Solución:

Operamos con las ecuaciones de la siguiente manera:

$f2 \rightarrow f2-f1$ (Sustituimos la ecuación de la fila 2 por la que resulta de restar la de la fila 2 menos la de la fila 1)
$f3 \rightarrow f3-f1$ (Sustituimos la ecuación de la fila 3 por la que resulta de restar la de la fila 3 menos la de la fila 1)

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, ~~z & = & ~~3 \\ \qquad \quad - \, ~2z & = & -2 \\ \quad - \, 2y \, - \, 2z & = & -4 \end{matrix} \right.$

$f2 \leftrightarrow f3$ (Intercambiamos la ecuación de la fila 2 por la de la fila 3)

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ \quad -2y \, - 2z & = & -4 \\ \qquad \quad - \, 2z & = & -2 \end{matrix} \right.$

para obtener un sistema escalonado equivalente al inicial.

Resolvemos la tercera ecuacion para obtener $z\;$ :

$z \, = \, 1$

En la primera y segunda ecuación, sustituimos $z\;$ por la solucion que acabamos de obtener:

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3 \\ \quad -2y \, - \, 2 & = & -4 \end{matrix} \right.$

Resolvemos la tercera ecuacion para obtener $y\;$ :

$y \, = \, 1$

Sustituimos la incógnita $y\;$ de la primera ecuación, por la solución que acabamos de obtener. Esto nos da el valor de $x\;$ :

$x \, + \, 1 \, + \, 1 \, = \, 3$

que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

$x \, = \, y \, = \, z \, = \, 1$

Videotutoriales

Sistemas de ecuaciones 3x3 (Método de Gauss) (7´31") Sinopsis:

En este vídeo describimos el método de Gauss para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

1 ejercicio (8´29") Sinopsis:

Resuelve por el método de Gauss: $\left\{ \begin{matrix} ~x \, + \, 2y \, - \, 3z & = & 4 \\ 2x \, + \, 5y \, - \, 7z & = & 9 \\ 3x \, - \, 2y \, - \, 2z & = & 3 \end{matrix} \right.$

2 ejercicios (11´02") Sinopsis:

Resuelve por el método de Gauss:

$\left\{ \begin{matrix} ~~~x \, + \, 2y \, - \, 2z & = & 1 \\ -2x \, - \, 5y \, + \, 3z & = & 5 \\ ~~2x \, + \, 3y \, - \, 5z & = & 7 \end{matrix} \right.$
$\left\{ \begin{matrix} 2x \, + \, 3y \, - \, 2z & = & 5 \\ ~~x \, + \, 5y \, + \, 3z & = & 2 \\ 3x \, + \, 8y \, + \, z & = & 8 \end{matrix} \right.$

1 ejercicio (9´15") Sinopsis:

Resuelve por el método de Gauss: $\left\{ \begin{matrix} ~~~x \, + \, 2y \, - \, 2z & = & 1 \\ -2x \, + \, ~y \, \quad \qquad & = & 5 \\ -x \, + \, 3y \, - \, 2z & = & 6 \end{matrix} \right.$

Discusión de sistemas

Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, caso de tenerla, saber si ésta es única. Es decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

Discusión de sistemas lineales

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales nxm, que tras realizar las transformaciones oportunas, está escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas, que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con m incógnitas, con $k \le m$ . Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo:

S.I.: Si alguna de las ecuaciones que quedan son del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.

Ejemplo:

Consideremos el siguiente sistema:

$\left\{ \begin{matrix} ~~~x \, + \, 2y \, + \, 5z & = & -3 \\ ~~2x \, - \, 2y \, + \, 3z & = & ~~5 \\ -2x \, + \, 8y \, + \, 4z & = & -4 \end{matrix} \right.$

Operamos de la siguiente manera:

$f2 \rightarrow f2 - 2 \cdot f1$
$f3 \rightarrow f3 + 2 \cdot f1$

$\left\{ \begin{matrix} ~~~x \, + \, 2y \, + \, 5z & = & -3 \\ \qquad \, - \, ~~6y \, + \, -7z & = & ~~11 \\ \qquad \, + \, 12y \, + \, 14z & = & -10 \end{matrix} \right.$

Ahora operamos con la última ecuación para terminar de escalonar:

$f3 \rightarrow f3 + 2 \cdot f2$

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, 2y \, + \, 5z & = & -3 \\ \quad -6y \, - 7z & = & ~11 \\ \qquad \quad \quad \, 0 & = & ~12 \end{matrix} \right.$

que es equivalente al inicial.

El sistema es incompatible pués la tercera ecuación es absurda.

S.C.D.: Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y además k = m, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.

Ejemplo:

Consideremos el siguiente sistema:

$\left\{ \begin{matrix} ~x \, - \, 2y \, + \, ~z & = & ~3 \\ 2x \, \, \qquad \, - \, ~z & = & ~9 \\ 3x \, + \, ~y \, - \, 2z & = & 13 \end{matrix} \right.$

Operamos con las ecuaciones de la siguiente manera:

$f1 \rightarrow f1+2 \cdot f3\;$

$\left\{ \begin{matrix} 7x \, \, \qquad \, - \, 3z & = & 29 \\ 2x \, \, \qquad \, - \, ~z & = & ~9 \\ 3x \, + \, ~y \, - \, 2z & = & 13 \end{matrix} \right.$

Operamos con las dos primeras ecuaciones para dejar el sistema escalonado

$f1 \rightarrow f1 - 3 \cdot f2\;$

$\left\{ \begin{matrix} ~x \, \, \qquad \, \, \qquad & = & 2 \\ 2x \, \, \qquad \, - \, ~z & = & ~9 \\ 3x \, + \, ~y \, - \, 2z & = & 13 \end{matrix} \right.$

y que es equivalente al inicial.

De la primera ecuacion tenemos el valor de $x=2\;$ .

En la segunda ecuación, sustituimos $x=2\;$ , para obtener $z=-5\;$

Y, finalmente, en la tercera ecuación sustituimos $x=2\;$ y $z=-5\;$ , para hallar $y=-3\;$ .

Así tenemos que la solución del sistema de ecuaciones inicial es:

$\left\{ \begin{matrix} x=&2 \\ y=&-3 \\ z=&5 \end{matrix} \right\}$

Se trata, por tanto, de un sistema con una única solución, un S.C.D. (sistema compatible determinado).

S.C.I.: Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b y k < m, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales. Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene k ecuaciones, las k primeras incógnitas serán las principales y las m - k restantes serán las no principales que pasaremos al segundo miembro como parámetros.

Ejemplo:

Consideremos el siguiente sistema:

$\left\{ \begin{matrix} 3x \, + \, 2y \, - \, 2z & = & ~~4 \\ 4x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & ~~7 \\ ~x \, + \, 4y \, - \, 4z & = & -2 \end{matrix} \right.$

Operamos de la siguiente manera:

$f1 \rightarrow f1 - 2 \cdot f2$
$f3 \rightarrow f3 -4 \cdot f2$

$\left\{ \begin{matrix} -~~5x \qquad \qquad \quad & = & -10 \\ ~~~~4x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & ~~7 \\ -15x \qquad \qquad \quad & = & -30 \end{matrix} \right.$

Intercambiamos las dos primeras ecuaciones:

$f1 \leftrightarrow f2$

$\left\{ \begin{matrix} ~~~~4x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & ~~7 \\ -~~5x \qquad \qquad \quad & = & -10 \\ -15x \qquad \qquad \quad & = & -30 \end{matrix} \right.$

Ahora operamos con las dos últimas ecuaciones:

$f2 \rightarrow f2 : (-5)\;$
$f3 \rightarrow f3 - 3 \cdot f2$

$\left\{ \begin{matrix} 4x \, + \, y \, - \, z & = & 7 \\ ~x\qquad \quad \quad \, & = & 2 \\ \qquad \quad \quad \, 0 & = & 0 \end{matrix} \right.$

que es equivalente al inicial.

La tercera ecuación se puede suprimir y de la segunda ecuación tenemos que $x=2\;$ .

Sustituyendo el valor $x=2\;$ en la primera ecuación, ésta queda:

$8+y-z=7\;$

y simplificada:

$y-z=-1\;$

Así nuestro sistema es equivalente a otro con una sola ecuación y dos incógnitas, que por tanto tiene infinitas soluciones, que podemos expresar de la siguiente forma:

$\left\{ \begin{matrix} x & = & 2 \\ y & = & z-1 \end{matrix} \right\} \ , \ z \in \mathbb{R}$

Hay un parámetro, z. Esto quiere decir que para cada valor del parámetro z se obtiene una solución del sistema. Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones y se trata de un sistema compatible indeterminado.

Método de Gauss con matrices (Ampliación)

En la siguiente actividad podrás ver como el método de Gauss se puede abreviar utilizando matrices. Estas agilizan el proceso de escalonamiento, ya que, en cada transformación de las ecuaciones del sistema, éstas no se escriben completas sino sólo los coeficientes de las mismas.

Actividad Interactiva: Método de Gauss con matrices

Discusión y resolución de sistemas por el método de Gauss usando matrices.

Actividad:

La siguiente escena efectúa la discusión y resuelve, en los casos que proceda (sistema compatible determinado o indeterminado), cualquier sistema de ecuaciones lineales, utilizando el método de Gauss. El número máximo de ecuaciones y de incógnitas que puede tener el sistema es 5.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicios

Actividad: Sistemas 3x3

Escalona y resuelve el siguiente sistema 3x3:

$\begin{cases} 2x+y-z=-1 \\ x-y+z=4 \\ 4x-y=2 \end{cases}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

solve 2x+y-z=-1, x-y+z=4, 4x-y=2

o en formato matricial:

solve {{2,1,-1},{1,-1,1},{4,-1,0}}*{x,y,z}={-1,4,2}

y si nos interesa ver como queda la matriz escalonada:

row reduce {{2,1,-1,-1},{1,-1,1,4},{4,-1,0,2}}

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:M%C3%A9todo_de_Gauss_%281%C2%BABACH%29"

 |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/03-ecuaciones-y-sistemas-de-ecuaciones/0901-ejercicio-13#.VCc12fl_u2E
 |sinopsis=Resuelve por el método de Gauss:
-<center>
 <math>
 \left\{ \begin{matrix}
-    ~x \, + \, 2y \, - \, 3z & = & ~~4
+    ~x \, + \, 2y \, - \, 3z & = & 4
     \\
-x \, + \, 5y \, - \, 7z & = & ~~9
+x \, + \, 5y \, - \, 7z & = & 9
     \\
-x \, - \, 2y \, - \, 2z & = & ~3
+x \, - \, 2y \, - \, 2z & = & 3
   \end{matrix}
 \right.
 </math>
-</center>
 }}
 {{p}}
 |duracion=9´15"
 |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/03-ecuaciones-y-sistemas-de-ecuaciones/0903-ejercicio-3#.VCc2QPl_u2E
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+|sinopsis=Resuelve por el método de Gauss:
+<math>
+\left\{ \begin{matrix}
+    ~~~x \, + \, 2y \, - \, 2z & = & 1
+    \\
+    -2x \, + \, ~y \, \quad \qquad  & = & 5
+    \\
+    -x \, + \, 3y \, - \, 2z & = & 6
+  \end{matrix}
+\right.
+</math>
 }}
 {{p}}

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