Fórmula del binomio de Newton (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 18:37 4 sep 2016
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Triángulo de Pascal)
← Ir a diferencia anterior		 Revisión de 18:48 4 sep 2016
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Binomio de Newton)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 7: Línea 7:
{{p}} {{p}}
==Binomio de Newton== ==Binomio de Newton==
 +{{Tabla75|celda2=[[Imagen:Triangulo_Pascal_3.jpg|thumb|270px|Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.]]
 +|celda1=
{{Teorema_sin_demo|titulo=Teorema: ''Fórmula del binomio de Newton''|enunciado=:El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio viene dado por la siguiente fórmula: {{Teorema_sin_demo|titulo=Teorema: ''Fórmula del binomio de Newton''|enunciado=:El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio viene dado por la siguiente fórmula:
<br> <br>
Línea 20: Línea 22:
Atribuido a [[Newton]], el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por [[Al-Karaji]] alrededor del año 1000. Atribuido a [[Newton]], el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por [[Al-Karaji]] alrededor del año 1000.
 +}}
{{p}} {{p}}
===Triángulo de Pascal=== ===Triángulo de Pascal===
Línea 25: Línea 28:
{{Tabla75|celda2= {{Tabla75|celda2=
-[[Imagen:Triangulo_Pascal.png|thumb|230px|Triángulo de Pascal para ''n=10''.]]+[[Imagen:Triangulo_Pascal.png|thumb|210px|Triángulo de Pascal para ''n=10''.]]
-[[Imagen:Triangulo_Pascal_1.gif|Triángulo de Pascal para ''n=3''.]]+<center>[[Imagen:Triangulo_Pascal_1.gif|Triángulo de Pascal para ''n=3''.]]</center>
|celda1= |celda1=
{{p}} {{p}}
Línea 44: Línea 47:
. \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ .
\end{matrix}\;</math></center> \end{matrix}\;</math></center>
-}} 
-{{p}} 
-Es llamado así en honor al matemático francés [[Pascal|Blaise Pascal]], quien introdujo esta notación en 1654, en su ''Traité du triangle arithmétique''. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta. 
{{p}} {{p}}
 +}}
 +{{p}}<br>Es llamado así en honor al matemático francés [[Pascal|Blaise Pascal]], quien introdujo esta notación en 1654, en su ''Traité du triangle arithmétique''. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.
 +<br>
{{Teorema|titulo=Propiedades|enunciado= {{Teorema|titulo=Propiedades|enunciado=
# Cada casilla del triángulo se obtiene como suma de las dos que hay justo encima de ella. # Cada casilla del triángulo se obtiene como suma de las dos que hay justo encima de ella.

Revisión de 18:48 4 sep 2016

Menú:
Enlaces internos Para repasar o ampliar Enlaces externos
Indice
Descartes
Manual Casio
 WIRIS
Geogebra
Calculadoras

Binomio de Newton

ejercicio

Teorema: Fórmula del binomio de Newton

El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio viene dado por la siguiente fórmula:


(a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n} b^n,


que podemos expresar de forma abreviada de la siguiente manera:
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k
siendo{n\choose k}, los coeficientes binomiales.


Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Al-Karaji alrededor del año 1000.

Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.
Aumentar
Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.

Triángulo de Pascal

También conocido como triángulo de Tartaglia.

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales {n \choose k} ordenados en forma triangular.

\begin{matrix} {0 \choose 0} \\ {1 \choose 0}{1 \choose 1} \\ {2 \choose 0}{2 \choose 1}{2 \choose 2} \\ {3 \choose 0}{3 \choose 1}{3 \choose 2}{3 \choose 3} \\ {4 \choose 0}{4 \choose 1}{4 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 4} \\ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \end{matrix}\;


Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.


ejercicio

Propiedades

  1. Cada casilla del triángulo se obtiene como suma de las dos que hay justo encima de ella.
  2. Los coeficientes del desarrollo de (a+b)n se encuentran en la línea "n+1" del triángulo de Pascal.
  3. El triángulo de Pascal es simétrico.
  4. La suma de todos los valores de la fila "n" del triángulo de Pascal es igual a 2n.
Demostración:
  1. Esto es así porque {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}. [1]
  2. Esto es inmediato, por como está construido el triángulo de Pascal.
  3. Esto es así porque {n\choose {n-p}} = {n\choose p}. [2]
  4. Esto es debido a que, por el teorema del binomio aplicado a (1+1)n:

2^n = (1+1)^n= {n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n}
[1] y [2] son propiedades de los coeficientes binomiales
Triángulo de Pascal para n=10.
Aumentar
Triángulo de Pascal para n=10.
Triángulo de Pascal para n=3.

wolfram

Actividad: Binomio de Newton

Halla el desarrollo de (a+b)7.

Solución:
Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:
expand (a+b)^7

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/F%C3%B3rmula_del_binomio_de_Newton_%281%C2%BABach%29"
Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda