Números naturales (3ºESO Aplicadas)

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(pág. 11-13)

Tabla de contenidos

1 El conjunto de los números naturales
2 Operaciones combinadas con números naturales
3 Criterios de divisibilidad
4 Números primos y números compuestos
5 Descomposición de un número en factores primos
6 Mínimo común múltiplo

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El conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales es:

$\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

Advertencia:

Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero (0) puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de las matemáticas, el conjunto de los números naturales puede incluir o no al cero.

Ejemplos

Veamos distintos ejemplos de uso de los números naturales:

Como número cardinal: Los días de la semana son 7.
Como número ordinal: El atleta británico quedó 3º en la prueba de cien metros lisos.
Como identificador: Tú número de carnet de socio del Atleti es el 2868.

Los números naturales

Tutorial 1 (3'08") Sinopsis:

El conjunto de los números naturales: origen y definición.

Tutorial 2 (4'56") Sinopsis:

El conjunto de los números naturales: origen y definición.

Tutorial 3 (4'19") Sinopsis:

Tutorial de introducción al tema:

Números naturales.
Sistemas de numeración.
Sistema de numeración decimal.

Acertijo (2'06") Sinopsis:

Hace unas horas tenía 16 años y el año que viene cumpliré 19. ¿Cómo explicas esta situación?

Los números naturales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números naturales.

¿Qué números aparecieron primero, los cardinales o los ordinales?

Existen dos teorías sobre el origen de la numeración, que además está relacionada con la cuestión de qué números aparecieron primero, los cardinales (1, 2, 3,...) o los ordinales (1º, 2º, 3º,...) La teoría que genera más consenso defiende el argumento de la necesidad. Todo habría comenzado a causa de la necesidad de contar objetos; por ello se habrían creado primero los números cardinales y después, los ordinales.

La otra teoría defiende la base espiritual de los números, que habrían tenido un uso ritual: cierto tipo de ceremonias requerían que los participantes se desplazaran o se situaran en un orden ritual preestablecido; por eso los números ordinales serían anteriores a los cardinales. Esta teoría además postula que los números se originaron en un lugar geográfico determinado, desde el que se propagaron al resto del mundo; también establece la división de los números naturales en pares e impares, considerando los impares masculinos y los pares, femeninos, una clasificación que comparten hoy en día muchas culturas del planeta.

(Extracto de "El mundo es matemático: Del ábaco a la revolución industrial". Pág. 10)"

El género de los números y otras curiosidades

Véanse los artículos de la BBC:

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Operaciones combinadas con números naturales

Jerarquía de las operaciones

A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:

Las potencias y las raíces.
Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
Las sumas y las restas.

Observaciones:

Cuando aparecen paréntesis dentro de otros paréntesis, se puede optar por cambiar los paréntesis más exteriores por corchetes, con el fin de facilitar la lectura de la operación.
Cuando resuelvas los paréntesis puedes completar las operaciones que encierren o aplicar la propiedad distributiva.
En cada uno de los pasos que des para resolver una expresión con operaciones combinadas se puede llevar a cabo más de una operación, siempre que no suponga romper el orden que acabamos de establecer.

Ejemplo:

Efectúa las siguientes operaciones: $8+\sqrt{16} \cdot (5-2)^2$

Los paréntesis: $\rightarrow 8+\sqrt{16} \cdot (5-2)^2= 8 + \sqrt{16} \cdot 3^2$
Las potencias y las raíces: $\rightarrow 8 + \sqrt{16} \cdot 3^2 = 8 + 4 \cdot 9$
Las multiplicaciones y divisiones: $\rightarrow 8 + 4 \cdot 9 = 8 + 36$
Las sumas y restas: $\rightarrow 8 + 36 = 44$

Jerarquía de las operaciones

Tutorial 1 (8'31") Sinopsis:

Aprende el orden en que han de hacerse las distintas operaciones con números naturales: sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, raíces, paréntesis. Ejemplos.

Tutorial 2 (4'35") Sinopsis:

Aprende el orden en que han de hacerse las distintas operaciones con números naturales.

Tutorial 3 (4'38") Sinopsis:

Aprende el orden en que han de hacerse las distintas operaciones con números naturales.

Acertijo (8'02") Sinopsis:

¿Cuánto es 6÷2(1+2)? ¿9 ó 1?

Operaciones combinadas con naturales

Autoevaluación 1 Descripción:

En esta escena podrás practicar las operaciones con números naturales: suma, resta, multiplicación, cociente, potencia y raíz; con o sin paréntesis, simples o dobles.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones combinadas con números naturales.

Operaciones combinadas

Actividad: Operaciones combinadas

Calcula:

a) $12+3 \cdot 2^3-(5-3)$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 12+3·2^3-(5-3)

Ejercicios propuestos: Operaciones combinadas con números naturales

(Pág. 11)

2, 4

1, 3

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Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por:	Criterio
2	El número acaba en 0 ó cifra par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.
7	La diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.
8	El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.
11	Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

Observación:

Los números que aparecen en verde se corresponden con aquellos cuyo criterio es un proceso que se puede usar de forma recursiva, es decir, si después de aplicarlo no sabemos si el número al que hemos llegado es múltiplo del número en cuestión, podemos aplicar nuevamente el criterio sobre ese resultado.

Divisibilidad

Actividad: Múltiplos y divisores de un número

a) Halla los divisores de 70.

b) Halla 5 múltiplos de 6.

c) Halla 5 múltiplos comunes de 4 y 5.

d) ¿Es 5 divisible por 10?

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) divisors 70

b) multiples 6

c) common multiples 4,5

d) is 5 divisible by 10?

Ejercicios propuestos: Divisibilidad. Números primos y compuestos.

(Pág. 12)

7, 10

5, 8, 9

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Números primos y números compuestos

Un número primo es un número natural, mayor que 1, que sólo tiene dos divisores: él mismo y el 1.
Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

Propiedad

Un número compuesto puede ponerse como producto de dos números distintos de él y la unidad.
Este proceso se puede repetir, con cada uno de los factores, hasta que el número quede descompuesto en producto de factores primos. A esto se le llama descomponer un número en factores primos.

Ejemplos

15 es compuesto porque 15 = 3·5.
El número 2 es primo ya que sus únicos divisores son 1 y 2. También son primos: 3, 5, 7, 11, 13.

Números primos y compuestos

Tutorial 1 (2´41") Sinopsis:

Conceptos de número primo y número compuesto. Tabla de números primos menores que 100.

Tutorial 2 (2´22") Sinopsis:

Conceptos de número primo y número compuesto.

Tutorial 3 (11´47") Sinopsis:

Conceptos de número primo y número compuesto.

Tutorial 4 (6´19") Sinopsis:

Breve explicación de qué son los números primos, cómo reconocerlos y cómo encontrarlos fácilmente

Tutorial 5 (9´30") Sinopsis:

Conceptos de número primo y número compuesto. Criba de Eratóstenes.

Tutorial 6 (8´49") Sinopsis:

Números primos.

La división y los números primos (9'12") Sinopsis:

The building blocks of all natural numbers are the prime numbers. The early Greeks invented the system still used today for separating natural numbers into prime and composite numbers.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Números naturales. Números primos (17´) Sinopsis:

Los números que nos sirven para contar, los números naturales, uno de los más viejos inventos de la Humanidad. ¿Cómo serían nuestras vidas sin la existencia de estos números?... Desde los pitagóricos, que los consideraron como el principio y la explicación de todo el Universo, hasta nuestros días estos números han ejercido un poderoso influjo sobre los matemáticos de todas las épocas. Uno de los campos que ha tenido en jaque a los grandes matemáticos es el de los números primos; una auténtica caja de sorpresas. Aún hoy, utilizando potentes ordenadores, no se han podido demostrar algunas de las conjeturas formuladas sobre estos números hace más de doscientos años. Veremos algunas de ellas y descubriremos una de las aplicaciones más extrañas de los números primos en la actualidad, su utilización en criptografía. (Ver resumen detallado)

Ejercicio (6´57") Sinopsis:

Determina cuáles de los siguientes números son primos, cuáles son compuestos, y cuáles no son ni primos ni compuestos:

24, 2, 1 y 17.

Números primos menores que 100

Actividades: Números primos y compuestos

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que puedes ver si un número es primo o compuesto.
Actividad en la que debes separar los números primos de los compuestos.

Actividad 2 Descripción:

Actividad 3 Descripción:

Introducción a los números primos y compuestos.

Actividad 4 Descripción:

Repaso sobre números primos y compuestos.

Actividad 5 Descripción:

Actividad en la que aprenderás a determinar si un número es primo o compuesto.

Actividad 6 Descripción:

Actividad en la que deberás decidir si un número es primo o compuesto.

Actividad 7 Descripción:

Actividad en la que deberás decidir si un número es primo o compuesto.

Actividad 8 Descripción:

Actividad en la que deberás pulsar sobre los números primos.

Autoevaluación 1 Descripción:

Identifica números primos.

Autoevaluación 2 Descripción:

Identifica números compuestos.

Autoevaluación 3 Descripción:

Test de 10 preguntas sobre números primos y compuestos.

Autoevaluación 4 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números primos.

Autoevaluación 5 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números compuestos.

Números primos y compuestos

Actividad: Números primos y compuestos

a) ¿Es 63 un número primo?

b) ¿Es 181 un número primo?

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) is 63 a prime number?

b) is 181 a prime number?

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Descomposición de un número en factores primos

Se le llama descomposición factorial o factorización de un número, a su expresión como producto de potencias de números primos.

Descomposición en factores primos

Cualquier número puede expresarse como producto de potencias de números primos.

Demostración:

El procedimiento es el siguiente:

Lo dividimos por el menor número primo que podamos.
El cociente que haya resultado lo colocamos debajo del número.
Si podemos, seguimos dividiendo sucesivamente ese cociente por el mismo número primo.
Cuando no podamos hacer la división por ese número primo, lo hacemos por el siguiente primo que se pueda.
Así sucesivamente hasta que el cociente final sea 1.
El producto de todos los números primos por los que hemos ido dividiendo constituyen la descomposición factorial del número.

Ejemplo:

Halla la descomposición factorial de 90.

Solución:

Dividimos 90 entre el primer número primo por el que sea divisible. En este caso, por 2. (90:2=45) A continuación, procedemos a dividir 45, cociente de la anterior división, de igual forma. (45:3=15) Así sucesivamente hasta obtener 1 en el cociente (15:3=5; 5:5=1)

Los cocientes 2, 3, 3 y 5 son los factores que descomponen a 90.

$\left . \begin{matrix} 90 \\ 45 \\ 15 \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right |\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 5 \\ \; \end{matrix} \qquad 90=2 \cdot3^2 \cdot 5$

Descomposición de un número

Actividad: Descomposición factorial de un número

Descompón en factores primos el número 156

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

factor 156

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Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, es el menor de todos los múltiplos comunes a esos números, distinto de cero.

Propiedad

Si a es múltiplo de b, entonces $m.c.m.(a,b)=a \;\!$ .
Los múltiplos comunes de varios números son también múltiplos del m.c.m.
Cualquier múltiplo del m.c.m. de varios números también lo es de dichos números.
Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.m también queda dividido o multiplicado por el mismo número.

Ejemplos

m.c.m.(15, 30)=30, porque 30 es múltiplo de 15.

Mínimo común múltiplo

Actividad: Mínimo común múltiplo

a) Halla el m.c.m.(12, 56, 80)

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) lcm(12, 56, 80)

Ejercicios propuestos: Descomposición en factores. Mínimo común múltiplo.

(Pág. 13)

11, 13

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales_%283%C2%BAESO_Aplicadas%29"

Categorías: Matemáticas | Números

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Descomposición de un número en factores primos

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