Descomposición de un número en factores primos (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Descomposición factorial de un número
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Descomposición factorial de múltiplos y divisores
3 Actividades

(Pág. 50)

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Descomposición factorial de un número

Se le llama descomposición factorial o factorización de un número, a su expresión como producto de potencias de números primos.

Descomposición en factores primos

Cualquier número puede expresarse como producto de potencias de números primos.

Demostración:

El procedimiento es el siguiente:

Lo dividimos por el menor número primo que podamos.
El cociente que haya resultado lo colocamos debajo del número.
Si podemos, seguimos dividiendo sucesivamente ese cociente por el mismo número primo.
Cuando no podamos hacer la división por ese número primo, lo hacemos por el siguiente primo que se pueda.
Así sucesivamente hasta que el cociente final sea 1.
El producto de todos los números primos por los que hemos ido dividiendo constituyen la descomposición factorial del número.

Ejemplo:

Halla la descomposición factorial de 90.

Solución:

Dividimos 90 entre el primer número primo por el que sea divisible. En este caso, por 2. (90:2=45) A continuación, procedemos a dividir 45, cociente de la anterior división, de igual forma. (45:3=15) Así sucesivamente hasta obtener 1 en el cociente (15:3=5; 5:5=1)

Los cocientes 2, 3, 3 y 5 son los factores que descomponen a 90.

$\left . \begin{matrix} 90 \\ 45 \\ 15 \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right |\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 5 \\ \; \end{matrix} \qquad 90=2 \cdot3^2 \cdot 5$

Descomposición factorial de un número

Tutorial 1 (8´25") Sinopsis:

Descomposición factorial de un número. Ejemplos

Tutorial 2 (27´28") Sinopsis:

Tutorial que explica la factorización de números en factores primos. Se explican dos técnicas para realizarlo, la técnica de columna que es el método más habitual que se enseña en casi todas las escuelas y la técnica del árbol, un método muy secillo, rápido y que permite poderlo hacer mentalmente después de práctica.

00:00 a 03:10: Definiciones básicas.
03:10 a 16:32: Método de columna.
16:32 a 27:28: Método de árbol.

Tutorial 3 (9´57") Sinopsis:

Descomposición factorial de un número. Ejemplos

Tutorial 4 (0´46") Sinopsis:

Descomposición factorial de un número mediante árbol de factores.

Tutorial 5 (6´42") Sinopsis:

Descomposición factorial de un número.

Tutorial 6 (6´26") Sinopsis:

Descomposición factorial de un número.

Tutorial 7 (7´13") Sinopsis:

Descomposición factorial de un número por el método tradicional y el de árbol.

Ejercicio 1 (8'17") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 18, 56 y 693

Ejercicio 2 (1'12") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 30

Ejercicio 3 (1'05") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 99

Ejercicio 4 (10'02") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 18, 70, 132 y 480

Ejercicio 5 (7'06") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 12, 9 y 108

Ejercicio 6 (6'08") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 1176, 825 y 364

Ejercicio 7 (6'08") Sinopsis:

Descompón en factores primos el número 75.

Ejercicio 8 (3'23") Sinopsis:

Descompón en factores primos: 95, 85 y 5.

Descomposición factorial de un número

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que puedes ver la descomposición factorial de un número dado.
Actividad para practicar la descomposición en factores primos de un número dado

Actividad 2 Descripción:

Autoevaluación 1 Descripción:

Descomposición factorial de un número.

Autoevaluación 2 Descripción:

Descomposición factorial de un número.

Descomposición factorial de un número

Actividad: Descomposición factorial de un número

Descompón en factores primos el número 156

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

factor 156

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Descomposición de un número en factores primos

(Pág. 50)

2, 4, 6

1, 3, 5

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Descomposición factorial de múltiplos y divisores

Propiedades

La descomposición factorial de los múltiplos de un número contiene a todos los factores primos del número.

La descomposición factorial de los divisores de un número está contenida en los factores primos del número.

Ejemplo:

40 es múltiplo de 10: La descomposición del 40 (2·2·2·5) contiene todos los factores primos del 10 (2·5).
8 es divisor de 40: La descomposición del 8 (2·2·2) está contenida en la del 40 (2·2·2·5).

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Obtención de los divisores de un número por el método de factorización

Vamos a ver cómo se buscan los divisores de un número a partir de su descomposición en factores primos. Básicamente lo que haremos es formar todas las combinaciones posibles con los distintos factores de la descomposición factorial del número, como puedes comprobar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Obtener los divisores de un número

Obtén los divisores de 90.

Solución:

Descomponemos 90 en factores primos:

$90=2 \cdot3^2 \cdot 5$

Formamos grupos con los factores de dicha descomposición:

Grupos de 1 factor:

$1\,$

$2\,$

$3\,$

$5\,$

Grupos de 2 factores:

$2\cdot 3=6\,$

$2 \cdot 5=10\,$

$3 \cdot 3=9\,$

$3 \cdot 5=15\,$

Grupos de 3 factores:

$2 \cdot 3 \cdot 3=18\,$

$2 \cdot 3 \cdot 5=30\,$

$3 \cdot 3 \cdot 5=45\,$

Grupos de 4 factores:

$2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5=90\,$

Otra forma similar:

Descomponemos 90 en factores primos:

$90=2 \cdot 3^2 \cdot 5$

Construimos una tabla para formar las posibles combinaciones de productos de factores.

Cada casilla de la tabla contiene un divisor: 1, 3, 9, 2, 6, 18, 5, 15, 45, 10, 30 y 90.

Divisores de un número a partir de su factorización Descripción:

Actividades sobre la obtención de los divisores de un número a partir de sus descomposición en factores primos.

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Número de divisores de un número

Calcular de manera rápida todos los divisores de un entero a partir de su descomposición en factores primos no es algo cómodo, pero sí es fácil saber cuántos divisores tiene el número.

Procedimiento

Para saber el número de divisores de un entero no tenemos más que multiplicar entre sí los exponentes de todos sus factores primos aumentados en una unidad.

Ejemplo

$360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \ \rightarrow \ (3+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$