Número áureo

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==La sucesión de Fibonacci y el número áureo== ==La sucesión de Fibonacci y el número áureo==
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Tabla de contenidos

El número áureo

El número áureo, es un número irracional cuyo valor es:

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803398874988...

Es representado por la letra griega phi φ (en minúscula) o Φ (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

También se le conoce como número de oro, razón áurea o divina proporción (por la obra de Luca Pacioli, De Divina Proportione, escrita entre 1496 y 1498).

Fue el primer número del que se tuvo conciencia que era irracional.

ejercicio

Proposición 1

Si dividimos un segmento en dos partes a y b, de manera que la longitud total, a+b, es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b, entonces la razón de dicha proporción es el número áureo.
\cfrac{a+b}{a} = \cfrac{a}{b} = \phi
Demostración:

Partimos de la proporción dada:

\cfrac{a+b}{a} = \cfrac{a}{b}

Separamos en dos sumandos el término de la izquierda:

\cfrac{a}{a}+\cfrac{b}{a} = \cfrac{a}{b}

Llamando x = \cfrac{a}{b}, tenemos que \cfrac{1}{x} = \cfrac{b}{a}, de manera que:

1+\cfrac{1}{x} = x

Quitando denominadores y trasponiendo términos:

x^2-x-1=0\;

ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:

x = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi
con lo que queda demostrado.
Fig. 1: El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.
Aumentar
Fig. 1: El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

El rectángulo áureo

El rectángulo áureo (o rectángulo dorado) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual al número áureo.

Los griegos consideraban que un rectángulo de tales características era especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte.

ejercicio

Proposición 2

Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.
Demostración:

Partimos de un rectángulo áureo. Lo dividimos en un cuadrado de lado su lado menor y otro rectángulo pequeño, como se observa en la Fig. 2.

Veamos que el rectángulo pequeño también es un rectángulo áureo. Para ello tendremos que comprobar que \cfrac{a}{b}= \phi

Por ser el rectángulo de partida un rectángulo áureo, se cumple que la proporción entre sus lados es el número áureo:

\cfrac{a+b}{a} = \phi

Operando:

\cfrac{a+b}{a} = \phi \ \rightarrow \ \cfrac{a}{a}+\cfrac{b}{a} = \phi \ \rightarrow \ \cfrac{b}{a} = \phi - 1 \ \rightarrow
\rightarrow \ \cfrac{a}{b} = \cfrac{1}{\phi - 1} \ \rightarrow \ \cfrac{a}{b} = \cfrac{1}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1} \ \rightarrow \cfrac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi
c.q.d.
Fig. 2: Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.
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Fig. 2: Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Construcción del rectángulo áureo

ejercicio

Construcción del rectángulo áureo con regla y compás

En la matemática clásica, Euclides construye el rectángulo áureo con regla y compás, siguiendo los siguientes pasos:
  1. Se construye un cuadrado de lado unidad (de rojo, en la Fig. 3).
  2. Se traza una segmento desde la mitad del lado del cuadrado hasta una de sus esquinas.
  3. Empleando ese segmento como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en la prolongación de la base del cuadrado.
  4. Ese punto obtenido determina la base del rectángulo áureo con altura igual al lado del cuadrado.
Demostración:
Si te fijas en la Fig. 3, basta con demostrar que el segmento que se obtiene en el paso 2 mide \cfrac{\sqrt{5}}{2}, para lo cual basta con usar el teorema de Pitágoras.

Construcción del número de oro     Descripción:

En la escena puedes ver la construcción del número de oro basada en una construcción gráfica que se encuentra en un libro de Euclides (siglo III a.C.).

  1. Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
  2. Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
  3. Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.
Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15")     Sinopsis:

Construcción con regla y compás de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo.

Fig. 3: Construcción del rectángulo áureo con regla y compás .
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Fig. 3: Construcción del rectángulo áureo con regla y compás .

El número áureo en el péntágono estrellado

Los griegos pitagóricos (seguidores de las teorías de Pitágoras) pensaban que el mundo se regía por su orden numérico y geométrico. Para ellos, los únicos números existentes eran los naturales y las relaciones entre ellos (fracciones). Su emblema era la estrella de cinco puntas o pentágono estrellado. Esta estrella representaba la vida y, puesta con una de sus vértices hacia abajo, representa lo contrario (lo maléfico). Comprobaron que en un pentágono regular, la relación entre su diagonal y su lado es el número áureo. Cuando llegaron a la conclusión de que esta relación no se podía expresar como cociente de dos números enteros, se quedaron espantados, y les pareció tan contrario a toda lógica que lo llamaron irracional. Es el primer número irracional del que se tuvo conciencia que lo era.

ejercicio

El número áureo en el péntágono estrellado

La razón entre la diagonal del del péntagono regular y su lado es igual al número áureo. (Ver Fig.4 )


\cfrac{d}{l}= \phi
Demostración:
  • Los triángulos ABF y EBD son semejantes ya que tienen sus ángulos iguales. Para comprobarlo basta aplicar la propiedad que dice que los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales.
  • Por ser semejantes los triángulos ABF y EBD, sus lados son proporcionales:

\cfrac{l}{d}=\cfrac{d-l}{l} \ \rightarrow \ \cfrac{l}{d}=\cfrac{d}{l}-1 \ \rightarrow \ \cfrac{1}{{d \over l}}=\cfrac{d}{l}-1

Haciendo el cambio de variable x= \cfrac{d}{l}:
\cfrac{1}{x}=x+1 \ \rightarrow \ x^2-x-1=0 \ \rightarrow \ x=\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi

c.q.d.
Fig. 4: En el petágono estrellado se cumple que d / l = Φ.
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Fig. 4: En el petágono estrellado se cumple que d / l = Φ.

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

F_1=1,\ F_2=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}

ejercicio

Término general de la sucesión de Fibonacci

El término general de la sucesión de Fibonacci es:

F_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}

siendo \phi\; el número áureo.

\phi=\frac{1+\sqrt5}2
Demostración:
Puedes ver una demostración que sobrepasa este nivel en este enlace: enlace a wikipedia

ejercicio

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci

F_n\; = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi
Demostración:

Comprobación: Si en la sucesión de Fibonacci

1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots

dividimos cada término entre el anterior, tenemos:

\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots

que expresada con decimales nos da:

1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi

Demostración:

Por construcción de la sucesión de Fibonacci:

F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;

Dividiendo ambos miembros por F_n \;:

\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}}

Tomando límites en ambos miembros:

lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}}

Llamando L = lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n}=lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}, tenemos:

L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0

ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:

L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi
con lo que queda demostrado.

El número áureo en la naturaleza

ejercicio

Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo

El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:

"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"

a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.

b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo (\phi\;):

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...

 

Solución:

a) Sucesión de Fibonacci:

  • Mes 1: 1 pareja (la pareja nace al comenzar el primer mes)
  • Mes 2: 1 pareja (la pareja no es fértil hasta que termine el 2º mes)
  • Mes 3: 2 parejas (al comenzar el tercer mes se reproduce por primera vez)
  • Mes 4: 3 parejas (la primera pareja vuelve a reproducirse pero la segunda no lo hace hasta el comienzo del próximo mes)
  • Mes 5: 5 parejas (la primera y la segunda pareja ya se reproducen, la tercera aún no)
  • Mes 6: 8 parejas (se reproducen las 3 primeras parejas, las otras dos no)
  • Mes 7: 13 parejas (se reproducen las 5 parejas de hace 2 meses, pero las 3 nuevas del mes anterior aún no)

Así se obtiene la sucesión de Fibonacci, en la que cada término se obtiene a partir de la suma de los dos anteriores:

\{ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots \}

b) Sucesión del número áureo:

Dividiendo cada término entre el anterior, tenemos la sucesión:

\left \{ \cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots \right \}

que expresada con decimales vemos que se aproxima al número áureo:

\{ 1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \} \rightarrow \phi

Nota: Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteamiento recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático.

Fibonacci: La magia de los números (16')     Sinopsis:

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, es el autor de la primera summa matemática de la Edad Media, el Liber Abaci. Con este libro introduce en la Europa cristiana las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Pero además brinda a los calculistas de la época reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones. Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por la curiosa sucesión de números que lleva su nombre y en la que cada término es la suma de los dos anteriores. Esta sucesión es una auténtica fuente de agradables sorpresas. Analizaremos las sugerentes relaciones que existen entre sus términos y descubriremos su presencia en fenómenos naturales coma la ramificación de algunas plantas, la distribución de los piñones en las piñas y de las pipas en los girasoles. Y, aunque en principio cueste trabajo creérselo, veremos que está directamente emparentada con un viejo amigo nuestro: el número áureo.

Fibonacci (24'29")     Sinopsis:

Grandes temas de la matemática - Capítulo 4: Fibonacci. (con Adrian Paenza)

El número áureo en el arte y en la cultura

Videos y páginas web

La divina proporción: el número phi (6')     Sinopsis:

Documental sobre el número aureo.

El número áureo (18´)     Sinopsis:

El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.

Actividades

Phi, el número de oro     Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

Fibonacci: La magia de los números (16')     Sinopsis:

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