Número áureo
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*A lo largo de la historia ha fascinado a muchos científicos, artistas, poetas, ... Por ejemplo, encontramos la siguiente cita de Kepler (1571-1630): ''Creo que de esta proporción geométrica se sirvió el Creador como la idea por medio de la que introdujo la generación continua de objetos semejantes a partir de objetos semejantes''. O este soneto que escribió Rafael Alberti cerrando el premio a la obra de Luca Pacioli en la edición de 1949 de la Ed. Losado, S. A., en Buenos Aires: | *A lo largo de la historia ha fascinado a muchos científicos, artistas, poetas, ... Por ejemplo, encontramos la siguiente cita de Kepler (1571-1630): ''Creo que de esta proporción geométrica se sirvió el Creador como la idea por medio de la que introdujo la generación continua de objetos semejantes a partir de objetos semejantes''. O este soneto que escribió Rafael Alberti cerrando el premio a la obra de Luca Pacioli en la edición de 1949 de la Ed. Losado, S. A., en Buenos Aires: | ||
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<center>''A ti, maravillosa disciplina,'' | <center>''A ti, maravillosa disciplina,'' | ||
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''A ti, divina proporción de oro.''</center> | ''A ti, divina proporción de oro.''</center> | ||
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*Curiosamente, también aparece en la naturaleza en el crecimiento de algunas plantas, en la distribución de las hojas de algunos tallos, en el crecimiento de las conchas de algunos moluscos. | *Curiosamente, también aparece en la naturaleza en el crecimiento de algunas plantas, en la distribución de las hojas de algunos tallos, en el crecimiento de las conchas de algunos moluscos. | ||
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Tabla de contenidos[esconder] |
El número áureo
El número áureo, es un número irracional cuyo valor es: ![]() Fue el primer número del que se tuvo conciencia que era irracional. Es representado por la letra griega phi φ (en minúscula) o Φ (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias. También se le conoce como número de oro, razón áurea o divina proporción (por la obra de Luca Pacioli, De Divina Proportione, escrita entre 1496 y 1498). |
El rectángulo áureo
El rectángulo áureo (o rectángulo dorado) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual al número áureo. Los griegos consideraban que un rectángulo de tales características era especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte. |
Construcción del rectángulo áureo
Construcción del rectángulo áureo con regla y compás
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El número áureo en el péntágono estrellado
Los griegos pitagóricos (seguidores de las teorías de Pitágoras) pensaban que el mundo se regía por su orden numérico y geométrico. Para ellos, los únicos números existentes eran los naturales y las relaciones entre ellos (fracciones). Su emblema era la estrella de cinco puntas o pentágono estrellado. Esta estrella representaba la vida y, puesta con una de sus vértices hacia abajo, representa lo contrario (lo maléfico). Comprobaron que en un pentágono regular, la relación entre su diagonal y su lado es el número áureo. Cuando llegaron a la conclusión de que esta relación no se podía expresar como cociente de dos números enteros, se quedaron espantados, y les pareció tan contrario a toda lógica que lo llamaron irracional. Es el primer número irracional del que se tuvo conciencia que lo era.
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

Término general de la sucesión de Fibonacci
El término general de la sucesión de Fibonacci es:

siendo el número áureo.

La sucesión de Fibonacci y el número áureo
Si a partir de la sucesión de Fibonacci

construimos, por recurrencia, la sucesión

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

El número áureo en la naturaleza
Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo
El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:
- "Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"
a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.
b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo ():

El número áureo en el arte y en la cultura
media, extrema razón de la hermosura, que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el universo armónico origina. A ti, mar de los sueños angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Lucas por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro.
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