Plantilla:Método de Gauss (1ºBACH)
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| ===Videotutoriales=== | ===Videotutoriales=== | ||
Revisión de 10:50 9 sep 2016
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Tabla de contenidos[esconder] |
Sistema escalonado
Un sistema de ecuaciones se dice que es escalonado si cada ecuación tiene, al menos, una incógnita menos que la anterior.
Método reducción de Gauss
- El método de Gauss, que se debe al matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, es una generalización del método de reducción para sistemas 2x2. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado.
Criterios de equivalencia de sistemas
- Los criterios de equivalencia de sistemas nos dicen las "operaciones" que podemos realizar sobre las ecuaciones del sistema inicial para transformarlo en otro equivalente. Son los siguientes:
- Multiplicar o dividir una ecuación por un número real distinto de cero.
- Sumar o restar a los dos miembros de una ecuación la misma expresión.
- Sumarle a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número. (Como caso particular: Sumarle o restarle a una ecuación otra ecuación)
- Cambiar el orden de las ecuaciones.
- Cambiar el orden de las incógnitas del sistema.
- Eliminar ecuaciones nulas (0=0).
- Eliminar una ecuación que sea idéntica o proporcional a otra.
Ejemplo: Método de reducción de Gauss
- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:
Solución:[Mostrar]
(Sustituimos la ecuación de la fila 2 por la que resulta de restar la de la fila 2 menos la de la fila 1)
(Sustituimos la ecuación de la fila 3 por la que resulta de restar la de la fila 3 menos la de la fila 1)
(Intercambiamos la ecuación de la fila 2 por la de la fila 3)
:
:
:
Discusión de sistemas
Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, caso de tenerla, saber si ésta es única. Es decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.
Discusión de sistemas lineales
Consideremos un sistema de ecuaciones lineales nxm, que tras realizar las transformaciones oportunas, está escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas, que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con m incógnitas, con 
. Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo:
- S.I.: Si alguna de las ecuaciones que quedan son del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.
- S.C.D.: Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y además k = m, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.
.
.
- S.C.I.: Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b y k < m, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales. Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene k ecuaciones, las k primeras incógnitas serán las principales y las m - k restantes serán las no principales que pasaremos al segundo miembro como parámetros.
Método de Gauss con matrices (Ampliación)
En la siguiente actividad podrás ver como el método de Gauss se puede abreviar utilizando matrices. Estas agilizan el proceso de escalonamiento, ya que, en cada transformación de las ecuaciones del sistema, éstas no se escriben completas sino sólo los coeficientes de las mismas.
 Actividad Interactiva: Método de Gauss con matrices
Discusión y resolución de sistemas por el método de Gauss usando matrices.
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Ejercicios
 Actividad: Sistemas 3x3
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 Ejercicios propuestos: Método de Gauss
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2. 
