Resolución de ecuaciones (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 17:17 9 sep 2016
Coordinador (Discusión | contribuciones)

← Ir a diferencia anterior		 Revisión de 17:33 9 sep 2016
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Ejercicios)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 97: Línea 97:
|titulo=Ejercicios propuestos: ''Resolución de ecuaciones'' |titulo=Ejercicios propuestos: ''Resolución de ecuaciones''
|cuerpo= |cuerpo=
-(pág. )+(pág. 80 )
-:[[Imagen:red_star.png|12px]] 3a,c,f; 4a,b; 5; 6+:[[Imagen:red_star.png|12px]] 2a,c; 3a,c,f; 4a,b; 5; 6
-:[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 3b,d,e; 4c,d,e,f+:[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2b,d; 3b,d,e; 4c,d,e,f
}} }}

Revisión de 17:33 9 sep 2016

Tabla de contenidos

[esconder]

Ecuación de segundo grado

  • Una ecuación de segundo grado con una incógnita, x\;\!, es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0
  • Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:

Ecuación de segundo grado completa

ejercicio

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0

son:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

donde el signo (\pm) significa que una solución se obtiene con el signo (+)\;\! y otra con el signo (-)\;\!.

Número de soluciones de la ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0 \;, al número:

\triangle = b^2-4ac

ejercicio

Proposición

Sea \triangle el discriminante de una ecuación de segundo grado:

  • Si \triangle <0, la ecuación no tiene solución.
  • Si \triangle >0, la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si \triangle =0, la ecuación tiene una solución (doble).

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0\;\!, es incompleta, si b=0\; ó c=0\;:

  • Si b=0:~ ax^2+c=0
  • Si c=0:~ ax^2+bx=0

ejercicio

Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas

  • En el caso b=0~ (ax^2+c=0 \;), las soluciones se obtienen despejando x\;:
ax^2+c=0 \ \rightarrow \ ax^2=-c \ \rightarrow \ x^2=-\cfrac{c}{a} \ \rightarrow \ x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}
  • En el caso c=0~ (ax^2+bx=0), las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:
ax^2+bx =0 \ \rightarrow \ x \, (ax+b)=0 \ \rightarrow \ \left \{ \begin{matrix} x_1= ~0~~ \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .

Videotutoriales

Ecuaciones bicuadradas

(pag. 78)

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!

ejercicio

Resolución de la ecuación bicuadrada

El método para resolver una ecuación bicuadrada

ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!

consiste en hacer el cambio de variable x^2=y\,\!. Entonces, nos quedará la siguiente ecuación de segundo grado en "y".

ay^2 + by + c = 0 \,\!

Una vez resuelta esta ecuación en "y", tenemos que averiguar el valor de la "x". Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo x=\pm \sqrt{y}. En consecuencia, las soluciones y<0\,\!, las rechazaremos, ya que no darán solución para la x\,\!, quedándonos sólo con las soluciones de y\,\! no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la x\,\!.

En consecuencia, una ecuación bicuadrada tendrá, como máximo, cuatro soluciones reales.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) x^4 - 10x^2 + 9 = 0\;\!
b) x^4 - 2x^2 - 3 = 0\;\!
c) x^4 - 5x^2 = 0 \;\!

Ecuaciones con fracciones algebaricas

(pág. 78)

Las ecuaciones con fracciones algebraicas, son aquellas en las que intervienen fracciones algebraicas y, por tanto, las incógnitas aparecen en algún denominador.

ejercicio

Resolución de las ecuaciones con fracciones algebraicas

Estas ecuaciones se pueden resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los polinomios de los denominadores y simplificando (se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador). De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.

En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Ecuaciones con fracciones algebraicas

Resuelve las ecuación: \frac{6} {x}+ \frac{x+1} {x-2} = 6

Ecuaciones con radicales

(pág. 79)

Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

ejercicio

Resolución de las ecuaciones radicales

Para resolver las ecuaciones con radicales hay que aislar las raices, una a una, e ir elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuaciones con radicales

Resuelve las ecuaciones:

a) \sqrt{2x-3} +1=x\;\!
b) \sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!

Ecuaciones exponenciales

(pág. 79)

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias y también puede ser necesario usar logaritmos.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuaciones exponenciales

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) 3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;
b) 5^{x^2-5x+6}=1 \;
c) 3^{1-x^2}=2\;
d) 2^x+2^{x+1}=12\;

Ecuaciones logarítmicas

(pág. 80)

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como parte de un logaritmo.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos.

Se deben comprobar siempre las soluciones en la ecuación de partida pues pueden obtenerse soluciones que no sean válidas, como puede verse en el ejemplo c) siguiente.

ejercicio

Ejemplos: Ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) log \ x + log \ 50 = 3
b) 5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32
c) 2\, log \ x= log \ (10-3x)

(pág. 80)

Ecuaciones factorizadas

Las ecuaciones factorizadas son ecuaciones del tipo:

(factor_1) \cdot (factor_2) \cdot \ \cdots \ \cdot (factor_n) = 0

donde cada factor puede ser una expresión algebraica, logarítmica, exponencial, trigonométrica, o combinación de estas.

ejercicio

Resolución de las ecuaciones factorizadas

Como para que un producto de números reales sea cero basta con que uno de ellos sea cero, las soluciones se obtendrán igualando a cero cada uno de los factores y resolviendo la ecuación resultante. Dependiendo de como sea cada factor tendremos que aplicar alguna de las distintas técnicas estudiadas anteriormente.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación factorizada

Resuelve la ecuación x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\!

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios propuestos: Resolución de ecuaciones

(pág. 80 )

2a,c; 3a,c,f; 4a,b; 5; 6
2b,d; 3b,d,e; 4c,d,e,f
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones_%281%C2%BABach%29"
Herramientas personales
phpMyVisites * AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda