Plantilla:Término general de una progresión aritmética
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Sean <math>a_1, a_2, a_3, ..... \;\!</math>términos de una progresión aritmética de diferencia <math>d\;\!</math>. Entonces, se cumple que:{{p}} | Sean <math>a_1, a_2, a_3, ..... \;\!</math>términos de una progresión aritmética de diferencia <math>d\;\!</math>. Entonces, se cumple que:{{p}} | ||
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- | <math>a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!</math> | + | <center><math>a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!</math></center> |
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Revisión de 16:04 14 sep 2016
Término general de una progresión aritmética
Sean
![a_1, a_2, a_3, ..... \;\!](/wikipedia/images/math/5/d/6/5d653303296c091ba2c2324315b6fc9f.png)
![d\;\!](/wikipedia/images/math/4/e/4/4e4169d2eb9dbf888554ab9789db4587.png)
![a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!](/wikipedia/images/math/c/4/5/c45b4979b35237513e05246eea4a2be7.png)
{{{demo}}}
|demo= En efecto, de forma intuitiva:
![a_1 = a_1 + 0 \cdot d \;\!](/wikipedia/images/math/1/e/7/1e77e1733e46d22eb81be5ebd80c527b.png)
![a_2 = a_1 + d = a_1 + 1 \cdot d \;\!](/wikipedia/images/math/7/a/7/7a799ffea27be4aea6961f232837490a.png)
........................
Demostración por el método de inducción completa:
Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.
Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:
![a_1+(1-1) \cdot d = a_1 + 0 \cdot d = a_1](/wikipedia/images/math/f/8/5/f850a0787382b4252fe507507058e254.png)
con lo que queda comprobada para n=1.
Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:
![a_n=a_1+(n-1) \cdot d](/wikipedia/images/math/4/e/2/4e24f52fe207b98f5a6aabc60f840d45.png)
Por ser una progresión aritmética cada término se obtiene sumando d al anterior término:
![a_{n+1}= a_n+ d \;](/wikipedia/images/math/5/6/3/5637eb441e058fd45328775aebd1a6e0.png)
Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:
![a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n+ d \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 + (n-1) \cdot d + d =a_1 + ((n+1)-1) \cdot d](/wikipedia/images/math/7/4/4/744cf81c67660fb80f54db415de019dd.png)
Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.
}}
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Definición de progresión aritmética.
- Ejemplos
- Término general