Ecuaciones de primer grado (3ºESO Académicas)

Una ecuación de primer grado es una ecuación polinómica que, tras ser reducida (simplificada), sólo posee monomios de grado uno. Puede tener una incógnita, dos, etc. según el numero de variables que tenga el polinomio.

Nota: Una ecuación de primer grado puede no parecerlo antes de reducirla. Será necesario operar y transponer términos antes de poder determinar el tipo de ecuación. Por ejemplo, la ecuación puede tener algunos monomios de grado 2 o superior pero conseguir que éstos desaparezcan tras reducirla, quedando sólo términos de grado 1.

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Toda ecuación de primer grado con una incógnita se puede reducir a la forma:

con , cuya única solución es:

.

Nota: Si al reducir la ecuación de partida resulta que el coeficiente de primer grado es , entonces la ecuación de partida no es realmente de primer grado, sino de grado cero. Estos caso especiales los estudiaremos en otro apartado de este tema.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

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A partir de una ecuación podemos obtener otra equivalente si efectuamos alguna de las siguientes operaciones:

• Regla de la suma: Sumar o restar la misma expresión en los dos miembros de la igualdad. (Así, lo que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro. Y viceversa.)
• Regla del producto: Multiplicar o dividir los dos miembros de la igualdad por un mismo número distinto de cero. (Así, lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa.)

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Para resolver una ecuación de primer grado hay que transformarla en otras ecuaciones equivalentes, cada vez más sencillas, hasta conseguir despejar la incógnita.

Los pasos que hay que dar pueden ser los siguientes, aunque algunos pueden variar de orden según los casos:

1. Quitar denominadores, si los hay (multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores).
2. Quitar paréntesis, si los hay.
3. Transponer términos, pasando las incógnitas a un lado y los números al otro (Usaremos la primera de las transformaciones descritas en el apartado anterior)
4. Simplificar cada miembro (agrupando términos numéricos y términos con incógnita) hasta obtener una expresión del tipo .
5. Despejar la incógnita, x, obteniendo la solución (Usaremos la segunda de las transformaciones descritas en el apartado anterior, siempre que . (Si fuese , estaríamos un caso especial que se analizará en el apartado de "casos especiales".)
6. Podemos, opcionalmente, comprobar la solución. Para ello sustituiremos la incógnita por la solución en los dos miembros de la ecuación de partida y los resultados deben coincidir.

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Resuelve la siguiente ecuación:

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• La ecuación no tiene solución.

• La ecuación tiene infinitas soluciones.