Ecuaciones de segundo grado (3ºESO Académicas)

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==Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado== ==Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado==

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Tabla de contenidos

(Pág. 108)

Ecuación de segundo grado

  • Una ecuación de segundo grado con una incógnita, x\;\!, es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0
  • Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

ejercicio
Ejemplos
  • 2x+3x^2=1-x\; es una ecuación de segundo grado completa, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: 3x^2+3x-1=0\;
  • 2x+3x^2=2x-3\; es una ecuación de segundo grado incompleta, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: 3x^2+3=0\;
  • 2x+3x^2+1=1-x\; es una ecuación de segundo grado completa, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: 3x^2+3x=0\;
  • 2x+3x^2=1+3x^2\; no es una ecuación de segundo grado, ya que al reducirla resulta una ecuación de primer grado: 2x-1=0\;

La ecuación de segundo grado (3´38")     Sinopsis:

Definición de ecuación de segundo grado.

La ecuación de segundo grado     Descripción:

Actividades en la que aprenderás a identificar los coeficientes de una ecuación de segundo grado y a determinar si es completa o incompleta.

El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:

Ecuaciones de segundo grado: definición, resolución, propiedades. (16´21")     Sinopsis:
  • Definición de ecuación de segundo grado.
  • Fórmula para su resolución con su demostración.
  • Definición de discriminante de una ec. de segundo grado y su relación con el número de soluciones de ésta y con ejemplos de cada caso.
  • Factorización del polinomio de segundo grado a partir de las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado.
  • Propiedades del producto y la suma de las raíces de la ecuación con su demostración.
  • Ecuaciones de segundo grado incompletas.

Ecuación de segundo grado completa

ejercicio

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0

son:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

donde el signo (\pm) significa que una solución se obtiene con el signo (+)\;\! y otra con el signo (-)\;\!.

Demostración:

A continuación tienes la demostración en videtutorial y por escrito:

video
Demostración
Demostración 1 (1'00")     Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 2 (10'05")     Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 3 (7'48")     Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 4 (9'13")     Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración:

1. Se divide la ecuación por a\;\!:

x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0

2. Se multiplica y divide por 2\;\! el coeficiente de la x\;\!:

x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0

3. Se suma a los dos miembros de la igualdad \cfrac{b^2}{4a^2}:

x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}

4. Se pasa restando a la derecha \cfrac{c}{a}:

x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}

5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de \left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2:

\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}

6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:

x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}

7. Se despeja x:

x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}

8. Se simplifica la expresión:

x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

ejercicio
Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado resueltas

    En la escena, pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos.

video
Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula
Tutorial 1 (cómo usar la fórmula) (7'37")     Sinopsis:

Cómo utilizar la fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Tutorial 2 (8'37")     Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 3 (14'06")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado aplicando la fórmula general de resolución.

Tutorial 4 (16'33")     Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 5a (8'34")     Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 5b (13'08")     Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Ejercicio 1 (3'17")     Sinopsis:

Escribe en forma general e identifica los coeficientes "a", "b", y "c": 6x2 + 3 = 2x − 6.

Ejercicio 2 (8'38")     Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: − x2 + 8x = 1.

Ejercicio 3 (4'53")     Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: − 3x2 + 10x − 3 = 0.

Ejercicio 4 (6'58")     Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: − 7q2 + 2q + 9 = 0.

video
Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula
Actividad 1     Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Actividad 2     Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 1     Descripción:

Resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 3     Descripción:

  1. Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
  2. Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones.
  3. Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución".
Ejercicios     Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado completas.

wolfram
Resolución de las ecuaciones de segundo grado
wolfram

Actividad: Resolución de las ecuaciones de segundo grado

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4x^2+4x+1=0 \;
b) x^2+x-12=0 \;

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve 4x^2+4x+1=0      b) solve x^2+x-12=0

Número de soluciones de la ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0 \;, al número:

\triangle = b^2-4ac

ejercicio

Proposición

Sea \triangle el discriminante de una ecuación de segundo grado:

  • Si \triangle <0, la ecuación no tiene solución.
  • Si \triangle >0, la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si \triangle =0, la ecuación tiene una solución (doble).
Demostración:

La demostración es inmediata teniendo en cuenta la fórmula para la resolución de la ecuación de segundo grado:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

ya que, lo que hay en el radicando, es precisamente el discriminante. Por tanto,

  • Si su signo es positivo, la raíz existe y da lugar a dos soluciones distintas.
  • Si su signo es negativo, la raíz no existe y no hay ninguna solución.
  • Si es cero, la raíz vale cero, y hay dos soluciones iguales (solución doble).

video
Discriminante y número de soluciones
Tutorial (5'42")     Sinopsis:

Número de soluciones de una ecuación de 2º grado. Discriminante.

Ejercicio 1 (3'04")     Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación x^2+4x-5=0\;.

Ejercicio 2 (3'17")     Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación 36x^2-60x+25=0\;.

Ejercicio 3 (3'29")     Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación \cfrac{9}{4}x^2-4x+\cfrac{10}{3}=0\;.

Ejercicio 4 (3'42")     Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación 8x^2-3x=0\;.

Ejercicio 5 (3'34")     Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación x^2+9=0\;.

Ejercicio 6 (6'58")     Sinopsis:

Determinar el número de soluciones de la ecuación x^2+14x+49=0\;.

video
Discriminate y número de soluciones
Actividad 1     Descripción:

Actividades en la que aprenderás a calcular el discriminante de una ecuación de segundo grado y su utilidad para determinar el número de soluciones de la misma.

Actividad 2     Descripción:

Calcula el número de soluciones de una ecuación de segundo grado:

  1. Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
  2. Copia la ecuación en tu cuaderno y calcula su discriminante.
  3. Teniendo en cuenta el valor del discriminante, determina cuántas soluciones tiene.
  4. Escribe el número de soluciones en el cuadro "Número de soluciones" y pulsa el botón "Solución".
Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0 \;, al número:

\triangle = b^2-4ac

ejercicio

Proposición

Sea \triangle el discriminante de una ecuación de segundo grado:

  • Si \triangle <0, la ecuación no tiene solución.
  • Si \triangle >0, la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si \triangle =0, la ecuación tiene una solución (doble).
Demostración:

La demostración es inmediata teniendo en cuenta la fórmula para la resolución de la ecuación de segundo grado:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

ya que, lo que hay en el radicando, es precisamente el discriminante. Por tanto,

  • Si su signo es positivo, la raíz existe y da lugar a dos soluciones distintas.
  • Si su signo es negativo, la raíz no existe y no hay ninguna solución.
  • Si es cero, la raíz vale cero, y hay dos soluciones iguales (solución doble).

video
Discriminante y número de soluciones
Tutorial (5'42")     Sinopsis:

Número de soluciones de una ecuación de 2º grado. Discriminante.

Ejercicio 1 (3'04")     Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación x^2+4x-5=0\;.

Ejercicio 2 (3'17")     Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación 36x^2-60x+25=0\;.

Ejercicio 3 (3'29")     Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación \cfrac{9}{4}x^2-4x+\cfrac{10}{3}=0\;.

Ejercicio 4 (3'42")     Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación 8x^2-3x=0\;.

Ejercicio 5 (3'34")     Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación x^2+9=0\;.

Ejercicio 6 (6'58")     Sinopsis:

Determinar el número de soluciones de la ecuación x^2+14x+49=0\;.

video
Discriminate y número de soluciones
Actividad 1     Descripción:

Actividades en la que aprenderás a calcular el discriminante de una ecuación de segundo grado y su utilidad para determinar el número de soluciones de la misma.

Actividad 2     Descripción:

Calcula el número de soluciones de una ecuación de segundo grado:

  1. Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
  2. Copia la ecuación en tu cuaderno y calcula su discriminante.
  3. Teniendo en cuenta el valor del discriminante, determina cuántas soluciones tiene.
  4. Escribe el número de soluciones en el cuadro "Número de soluciones" y pulsa el botón "Solución".
Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Resolución de ecuaciones de segundo grado

(Pág. 108)

1a,c,f,h

1b,d,e,g

Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado

(Pág. 112)

1, 2

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