La distribución binomial

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Distribución binomial

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados:

A

, llamado éxito, y su contrario $\bar{A}$ , llamado fracaso.

2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

3. La probabilidad de

A

, que denotamos por

p

, no varía de una prueba a otra.

4. En cada experimento se realizan

n

pruebas idénticas.

Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la distribución binomial. Su función de probabilidad queda determinada por $n$ número de pruebas idénticas realizadas y $p$ probabilidad de éxito en una de ellas.

A la variable $X$ , que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le llama variable aleatoria binomial $B (n, p)$ .

Su función de probabilidad es:

$\mathrm{P} \left( \, X \, = \, r \, \right) \, = \, \left( \, { n \atop r } \right) \cdot p^r \cdot \left( \, 1 \, - \, p \, \right) ^ \left( \, n \, - \, r \, \right)$

Además

$E(X)=n.p \qquad \sigma= \sqrt{n.p.(1-p)}$

Proposición

Obtención de la función de probabilidad.

Demostración:[Mostrar]

Distribución de probabilidad B(n, p).

Ejemplo: Distribución binomial

¿Cual es la probabilidad de que en una familia con 5 hijos, 3 sean chicos y 2 chicas?

Solución:[Mostrar]

Actividades Interactivas: La Binomial

Actividad 1. Observa el recorrido de una bola en el aparato de Galton (utiliza animar y los controles para que vaya paso a paso). En cada bifurcación la bola puede ir a la izquierda con probabilidad p o a la derecha con probabilidad q=1-p. La variable aleatoria que toma valor 0 si cae a la izquierda o 1 si cae a la derecha se llama de Bernoulli. La variable X que da el número de unos al finalizar el recorrido (suma de variables de Bernoulli independientes) se llama binomial. ¿Qué valores puede tomar X?

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2. Simula en el aparato de Galton el lanzamiento de 6 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 caras (p=1/2)? Haz la prueba con 100 lanzamientos (Control Num. bolas) y comprueba que coinciden aproximadamente el resultado teórico y el experimental.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 3. Para p=0.6 y n=10, halla P(X=6). Comprueba, hallando la probabilidad con los demás valores de k, que X=6 es el valor más probable (valor "esperado"). Haz el experimento en el aparato de Galton para 100 bolas comprobando que es cierto.

Actividad:[Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_distribuci%C3%B3n_binomial"

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