Las cónicas (1ºBach)
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| - | *'''Circunferencia:''' el plano es paralelo a la base. | + | |
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| - | La primera definición de sección cónica aparece en Grecia, cerca del año 350, donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a [[Apolonio |Apolonio de Pérgamo]]. | + | Par más detalles consulta el tema de la [[La elipse (1ºBach) |elipse]]. |
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| - | {{Caja_Amarilla|texto=Dados dos puntos <math>F_1\,</math> y <math>F_2\,</math> llamados '''focos''', y una distancia <math>k\,</math>, llamada ''constante de la elipse'' (<math>k > d(F_1,F_2)\,</math>), se llama '''elipse''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a <math>k\,</math>: | ||
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| - | ====Construcción de la elipse==== | ||
| - | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Potencia de un punto respecto a una circunferencia''|cuerpo= | ||
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| - | |enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a calcular la potencia del punto P(6,4) respecto de la circunferencia de centro O(0,0) y radio r=3. | ||
| - | |actividad=Calcula en tu cuaderno cuanto vale la potencia de ese punto respecto a la circunferencia y comprueba los resultados en la escena. | ||
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| + | A partir de las ecuaciones de los lugares geométricos anteriormente vistos, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma: | ||
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| - | Activa la traza, desliza el punto P y observa. | + | en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá: |
| - | #¿Qué tipo de curva describe la traza de P? | + | *'''Hipérbola:''' si <math>h^2>ab\,</math> |
| - | #¿Qué representan los segmentos morados? | + | *'''Parábola:''' si <math>h^2=ab\,</math> |
| - | #¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P? | + | *'''Elipse:''' si <math>h^2<ab\,</math> |
| - | #¿Qué ocurre si pones c=0? | + | *'''Circunferencia:''' si <math>h=0\,</math> y <math>a=b\,</math> |
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| + | ==Excentricidad de una cónica== | ||
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| + | '''Valores de la excentricidad de las cónicas:''' | ||
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| + | *'''Circunferencia: '''<math>e=0\,</math>. | ||
| + | *'''Elipse:''' <math>0<e<1\,</math>. | ||
| + | *'''Parábola:''' <math>e=1\,</math>. | ||
| + | *'''Hipérbola:''' <math>e>1\,</math>. | ||
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| + | {{p}} | ||
| + | El por qué de estos valores se estudiará en el apartado correspondiente a cada cónica. | ||
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| + | ===Las órbitas de los planetas y de los cometas=== | ||
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Revisión actual
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Tabla de contenidos |
Secciones cónicas
Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Según como corte el plano al cono tendremos (ver figura):
La primera definición de sección cónica aparece en Grecia, cerca del año 350, donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Pérgamo. A continuación vamos a ver definir las secciones cónicas como lugares geométricos de puntos del plano. |  |
Las cónicas como lugares geométricos
Circunferencia
La circunferencia de centro
 Trazado de la circunferencia Descripción: En esta escena podrás ver como se dibuja una circunferencia. |  |
y radio 
, es el lugar geométrico de los puntos 
, del plano, cuya distancia al centro es 
Par más detalles consulta el tema de la circunferencia.
Elipse
Dados dos puntos
Trazado de la elipse Descripción: En esta escena podrás ver como construye una elipse. |  |
y 
llamados focos, y una distancia 
, llamada constante de la elipse (
), se llama elipse al lugar geométrico de los puntos 
Par más detalles consulta el tema de la elipse.
Hipérbola
Dados dos puntos
Trazado de la hipérbola Descripción: En esta escena podrás ver como construye una hipérbola. |  |
), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos 
Par más detalles consulta el tema de la hipérbola.
Parábola
Dados un punto
Trazado de la parábola Descripción: En esta escena podrás ver como construye una parábola. |  |
, llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos 
Par más detalles consulta el tema de la parábola.
Ecuaciones de las cónicas
Proposición
A partir de las ecuaciones de los lugares geométricos anteriormente vistos, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
|
|
en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
- Hipérbola: si
- Parábola: si
- Elipse: si
- Circunferencia: si
y 
Excentricidad de una cónica
La excentricidad, Valores de la excentricidad de las cónicas:
El por qué de estos valores se estudiará en el apartado correspondiente a cada cónica. | 
|
, de una cónica es un parámetro que determina el grado de desviación de la cónica con respecto a una circunferencia.
.
.
.
.
Las órbitas de los planetas y de los cometas
|
Los planetas tienen órbitas elípticas, siendo uno de sus focos el Sol, con excentricidad casi nula (muy parecidas a una circunferencia). La excentricidad de la tierra es 0,017. Las órbitas de los cometas son elípticas, muy excéntricas (muy alargadas), algunas incluso son parabólicas e hiperbólicas. Los cometas de órbitas parabólicas y más los de órbitas hiperbólicas, debemos considerarlos como astros sólo visibles una vez, a menos que durante su trayecto por el interior del sistema Solar pasen por la proximidad de un astro de gran masa, como Júpiter, y que, por efecto de su gran fuerza atractiva, o capture, transformando su primitiva órbita abierta en una elipse y, por lo tanto, obligándole a dar vueltas alrededor del Sol. La sección cónica que exhibe una órbita depende de su energía total. Si la energía total del sistema es negativa, entonces la órbita es ligada y asumirá una conformación elíptica. Ahora, si es exactamente igual a cero, la órbita será desligada y tendrá una forma parabólica. Si la energía es positiva, la órbita será también desligada y seguirá una hipérbola. |  |
