Las cónicas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Secciones cónicas
2 Las cónicas como lugares geométricos
3 Ecuaciones de las cónicas
4 Excentricidad de una cónica
- 4.1 Las órbitas de los planetas y de los cometas

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Secciones cónicas

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.

Según como corte el plano al cono tendremos (ver figura):

Hipérbola: el plano forma con la base un ángulo mayor que el que forma la generatriz.
Parábola: el plano es paralelo a la generatriz.
Elipse: el plano forma con la base un ángulo menor que el que forma la generatriz.
Circunferencia: el plano es paralelo a la base.

La primera definición de sección cónica aparece en Grecia, cerca del año 350, donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Pérgamo.

A continuación vamos a ver definir las secciones cónicas como lugares geométricos de puntos del plano.

Secciones cónicas: Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Pérgamo.

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Las cónicas como lugares geométricos

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Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ , del plano, cuya distancia al centro es $r\,$ .

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,O)=r \big \}$

Trazado de la circunferencia Descripción:

En esta escena podrás ver como se dibuja una circunferencia.

Circunferencia de centro O y radio r.

Par más detalles consulta el tema de la circunferencia.

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Elipse

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la elipse ( $k > d(F,F')\,$ ), se llama elipse al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a $k\,$ :

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)+d(P,F')=k \big \}$

Trazado de la elipse Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una elipse.

Trazado de la elipse

Par más detalles consulta el tema de la elipse.

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Hipérbola

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la hipérbola ( $k < d(F,F')\,$ ), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a $k\,$ :

$\big \{P(x,y) \, / \; |d(P,F)-d(P,F')|=k \big \}$

Trazado de la hipérbola Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una hipérbola.

Hipérbola

Par más detalles consulta el tema de la hipérbola.

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Parábola

Dados un punto $F\,$ llamado foco, y una recta $d\,$ , llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano que equidistán del foco y de la directriz:

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)=d(P,d) \big \}$

Trazado de la parábola Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una parábola.

Parábola:

d (P i, F) = d (P i, Q i)

Par más detalles consulta el tema de la parábola.

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Ecuaciones de las cónicas

Proposición

A partir de las ecuaciones de los lugares geométricos anteriormente vistos, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

$ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \,$

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:

Hipérbola: si $h^2>ab\,$
Parábola: si $h^2=ab\,$
Elipse: si $h^2<ab\,$
Circunferencia: si $h=0\,$ y $a=b\,$

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Excentricidad de una cónica

La excentricidad, $e\,$ , de una cónica es un parámetro que determina el grado de desviación de la cónica con respecto a una circunferencia.

Valores de la excentricidad de las cónicas:

Circunferencia: $e=0\,$ .
Elipse: $0<e<1\,$ .
Parábola: $e=1\,$ .
Hipérbola: $e>1\,$ .

El por qué de estos valores se estudiará en el apartado correspondiente a cada cónica.

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Las órbitas de los planetas y de los cometas

Los planetas tienen órbitas elípticas, siendo uno de sus focos el Sol, con excentricidad casi nula (muy parecidas a una circunferencia). La excentricidad de la tierra es 0,017.

Las órbitas de los cometas son elípticas, muy excéntricas (muy alargadas), algunas incluso son parabólicas e hiperbólicas.

Los cometas de órbitas parabólicas y más los de órbitas hiperbólicas, debemos considerarlos como astros sólo visibles una vez, a menos que durante su trayecto por el interior del sistema Solar pasen por la proximidad de un astro de gran masa, como Júpiter, y que, por efecto de su gran fuerza atractiva, o capture, transformando su primitiva órbita abierta en una elipse y, por lo tanto, obligándole a dar vueltas alrededor del Sol.

La sección cónica que exhibe una órbita depende de su energía total. Si la energía total del sistema es negativa, entonces la órbita es ligada y asumirá una conformación elíptica. Ahora, si es exactamente igual a cero, la órbita será desligada y tendrá una forma parabólica. Si la energía es positiva, la órbita será también desligada y seguirá una hipérbola.

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Categorías: Matemáticas | Geometría

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 ==Secciones cónicas==
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+===Elipse===
-*'''Parábola:''' el plano es paralelo a la generatriz.
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-La primera definición de sección cónica aparece en Grecia, cerca del año 350, donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a [[Apolonio |Apolonio de Pérgamo]].
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-====Construcción de la elipse====
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-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a calcular la potencia del punto P(6,4) respecto de la circunferencia de centro O(0,0) y radio r=3.
-|actividad=Calcula en tu cuaderno cuanto vale la potencia de ese punto respecto a la circunferencia y comprueba los resultados en la escena.
+==Ecuaciones de las cónicas==
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+A partir de las ecuaciones de los lugares geométricos anteriormente vistos, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_construccion_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Activa la traza, desliza el punto P y observa.
+en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
-#¿Qué tipo de curva describe la traza de P?
+*'''Hipérbola:''' si <math>h^2>ab\,</math>
-#¿Qué representan los segmentos morados?
+*'''Parábola:''' si <math>h^2=ab\,</math>
-#¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
+*'''Elipse:''' si <math>h^2<ab\,</math>
-#¿Qué ocurre si pones c=0?
+*'''Circunferencia:''' si <math>h=0\,</math> y <math>a=b\,</math>
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+==Excentricidad de una cónica==
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+'''Valores de la excentricidad de las cónicas:'''
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+*'''Circunferencia: '''<math>e=0\,</math>.
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+*'''Parábola:''' <math>e=1\,</math>.
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+El por qué de estos valores se estudiará en el apartado correspondiente a cada cónica.
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+===Las órbitas de los planetas y de los cometas===
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 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

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Secciones cónicas

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Circunferencia

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