Las cónicas (1ºBach)

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1 Secciones cónicas
2 Las cónicas como lugares geométricos
3 Ecuaciones de las cónicas
4 Excentricidad de una cónica
- 4.1 Las órbitas de los planetas y de los cometas

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Secciones cónicas

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.

Según como corte el plano al cono tendremos (ver figura):

Hipérbola: el plano forma con la base un ángulo mayor que el que forma la generatriz.
Parábola: el plano es paralelo a la generatriz.
Elipse: el plano forma con la base un ángulo menor que el que forma la generatriz.
Circunferencia: el plano es paralelo a la base.

La primera definición de sección cónica aparece en Grecia, cerca del año 350, donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Pérgamo.

A continuación vamos a ver definir las secciones cónicas como lugares geométricos de puntos del plano.

Secciones cónicas: Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Pérgamo.

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Las cónicas como lugares geométricos

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Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ , del plano, cuya distancia al centro es $r\,$ .

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,O)=r \big \}$

Trazado de la circunferencia Descripción:

En esta escena podrás ver como se dibuja una circunferencia.

Circunferencia de centro O y radio r.

Par más detalles consulta el tema de la circunferencia.

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Elipse

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la elipse ( $k > d(F,F')\,$ ), se llama elipse al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a $k\,$ :

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)+d(P,F')=k \big \}$

Trazado de la elipse Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una elipse.

Trazado de la elipse

Par más detalles consulta el tema de la elipse.

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Hipérbola

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la hipérbola ( $k < d(F,F')\,$ ), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a $k\,$ :

$\big \{P(x,y) \, / \; |d(P,F)-d(P,F')|=k \big \}$

Trazado de la hipérbola Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una hipérbola.

Hipérbola

Par más detalles consulta el tema de la hipérbola.

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Parábola

Dados un punto $F\,$ llamado foco, y una recta $d\,$ , llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano que equidistán del foco y de la directriz:

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)=d(P,d) \big \}$

Trazado de la parábola Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una parábola.

Parábola:

d (P i, F) = d (P i, Q i)

Par más detalles consulta el tema de la parábola.

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Ecuaciones de las cónicas

Proposición

A partir de las ecuaciones de los lugares geométricos anteriormente vistos, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

$ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \,$

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:

Hipérbola: si $h^2>ab\,$
Parábola: si $h^2=ab\,$
Elipse: si $h^2<ab\,$
Circunferencia: si $h=0\,$ y $a=b\,$

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Excentricidad de una cónica

La excentricidad, $e\,$ , de una cónica es un parámetro que determina el grado de desviación de la cónica con respecto a una circunferencia.

Valores de la excentricidad de las cónicas:

Circunferencia: $e=0\,$ .
Elipse: $0<e<1\,$ .
Parábola: $e=1\,$ .
Hipérbola: $e>1\,$ .

El por qué de estos valores se estudiará en el apartado correspondiente a cada cónica.

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Las órbitas de los planetas y de los cometas

Los planetas tienen órbitas elípticas, siendo uno de sus focos el Sol, con excentricidad casi nula (muy parecidas a una circunferencia). La excentricidad de la tierra es 0,017.

Las órbitas de los cometas son elípticas, muy excéntricas (muy alargadas), algunas incluso son parabólicas e hiperbólicas.

Los cometas de órbitas parabólicas y más los de órbitas hiperbólicas, debemos considerarlos como astros sólo visibles una vez, a menos que durante su trayecto por el interior del sistema Solar pasen por la proximidad de un astro de gran masa, como Júpiter, y que, por efecto de su gran fuerza atractiva, o capture, transformando su primitiva órbita abierta en una elipse y, por lo tanto, obligándole a dar vueltas alrededor del Sol.

La sección cónica que exhibe una órbita depende de su energía total. Si la energía total del sistema es negativa, entonces la órbita es ligada y asumirá una conformación elíptica. Ahora, si es exactamente igual a cero, la órbita será desligada y tendrá una forma parabólica. Si la energía es positiva, la órbita será también desligada y seguirá una hipérbola.

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Categorías: Matemáticas | Geometría

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 ==Secciones cónicas==
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-{{Caja_Amarilla|texto=Se denomina '''sección cónica''' a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.
-Según como corte el plano al cono tendremos (ver figura):
-*'''Hipérbola:''' el plano forma  con la base un ángulo mayor que el que forma la generatriz.
-*'''Parábola:''' el plano es paralelo a la generatriz.
-*'''Elipse:''' el plano forma  con la base un ángulo menor que el que forma la generatriz.
-*'''Circunferencia:''' el plano es paralelo a la base.
-}}
 {{p}}
-La primera definición de sección cónica aparece en Grecia, cerca del año 350, donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a [[Apolonio |Apolonio de Pérgamo]].
-A continuación vamos a ver definir las secciones cónicas como lugares geométricos de puntos del plano.
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 ==Las cónicas como lugares geométricos==
 ===Circunferencia===
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 Par más detalles consulta el tema de la [[La circunferencia (1ºBach) |circunferencia]].
-}}
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 ===Elipse===
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-{{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás ver como construye una elipse.
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 Par más detalles consulta el tema de la [[La elipse (1ºBach) |elipse]].
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 ===Hipérbola===
-{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos puntos <math>F\,</math> y <math>F'\,</math> llamados '''focos''', y una distancia <math>k\,</math>, llamada '''constante de la hipérbola''' (<math>k < d(F,F')\,</math>), se llama '''hipérbola''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a <math>k\,</math>:
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-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Hipérbola''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' Trazado de la hipérbola.
-|actividad=Activa la traza, desliza el punto P y observa.
-#¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
-#¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?
-#¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
-<center><iframe>
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/hiperbola_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
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 Par más detalles consulta el tema de la [[La hipérbola (1ºBach) |hipérbola]].
 ===Parábola===
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+{{parabola}}
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-#¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
-#¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?
-#¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
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-}}
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 Par más detalles consulta el tema de la [[La parábola (1ºBach) |parábola]].
 ==Ecuaciones de las cónicas==
-{{Caja_Amarilla|texto=
+{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=
-A partir de las ecuaciones de los lugares geométricos anteriormente vistas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
+A partir de las ecuaciones de los lugares geométricos anteriormente vistos, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
 {{Caja|contenido=<math>ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \,</math>}}
 ==Excentricidad de una cónica==
 {{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=La '''excentricidad''' <math>e\,</math> de una cónica es un parámetro que determina el grado de desviación de la cónica con respecto a una circunferencia.}}
+{{Caja_Amarilla|texto=La '''excentricidad''', <math>e\,</math>, de una cónica es un parámetro que determina el grado de desviación de la cónica con respecto a una circunferencia.}}
 {{p}}
 '''Valores de la excentricidad de las cónicas:'''
 *'''Hipérbola:''' <math>e>1\,</math>.
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+{{p}}
+El por qué de estos valores se estudiará en el apartado correspondiente a cada cónica.
 |celda2=
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 {{p}}
-'''Las órbitas de los planetas y de los cometas:'''
+===Las órbitas de los planetas y de los cometas===
-{{Tabla75|celda2=[[Imagen:orbitascometas.png|200px|center]]
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-|celda1={{p}}
-*Los planetas tienen órbitas elípticas, siendo uno de sus focos el Sol, con excentricidad casi nula (muy parecidas a una circunferencia). La excentricidad de la tierra es 0,017.
-*Las órbitas de los cometas son elípticas, muy excéntricas (muy alargadas), algunas incluso son parabólicas e hiperbólicas.
-**Los cometas de órbitas parabólicas y más los de órbitas hiperbólicas, debemos considerarlos como astros sólo visibles una vez, a menos que durante su trayecto por el interior del sistema Solar pasen por la proximidad de un astro de gran masa, como Júpiter, y que, por efecto de su gran fuerza atractiva, o capture, transformando su primitiva órbita abierta en una elipse y, por lo tanto, obligándole a dar vueltas alrededor del Sol.
-**La sección cónica que exhibe una órbita depende de su energía total. Si la energía total del sistema es negativa, entonces la órbita es ligada y asumirá una conformación elíptica. Ahora, si es exactamente igual a cero, la órbita será desligada y tendrá una forma parabólica. Si la energía es positiva, la órbita será también desligada y seguirá una hipérbola.
-}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

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Secciones cónicas

Las cónicas como lugares geométricos

Circunferencia

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Hipérbola

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Excentricidad de una cónica

Las órbitas de los planetas y de los cometas

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