Plantilla:Función inversa (1ºBach)

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Revisión de 10:24 13 dic 2016

Función inversa o recíproca

Si $f\;$ es una función que lleva elementos de $X\;$ en elementos de $Y\;$ , en ciertas condiciones será posible definir la aplicación $f^{-1}\;$ que realice el camino de vuelta de $Y\;$ a $X\;$ . En ese caso diremos que $f^{-1}\;$ es la función inversa o recíproca de $f\;$ . Formalmente:

Sea $f\;$ una función real biyectiva, cuyo dominio sea el conjunto $X\;$ y cuya imagen sea el conjunto $Y\;$ . Entonces, la función recíproca o inversa de $f\;$ , denotada $f^{-1}\;$ , es la función de dominio $Y\;$ e imagen $X\;$ definida por la siguiente regla:

$f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow{}f(x) = y \,\!$

Propiedades

Sea $f \colon X \rightarrow Y$ una función y $f^{-1}\;$ su inversa:

Las gráficas de $f\;$ y $f^{-1}\;$ son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .
La función $f^{-1}\;$ , al igual que $f\;$ , es una función biyectiva, que queda determinada de modo único por $f\;$ y que cumple:

a) $f^{-1} \circ f = I_X$

b) $f \circ f^{-1}=I_Y$

donde $I_X\;$ e $I_Y\;$ son las funciones identidad en $X\;$ e $Y\;$ respectivamente.

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ^–1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ^–1 lleva 3 de vuelta en a.

Función inversa o recíproca Descripción:

En esta escena podrás ver la representación conjunta una función y su inversa.

Ejemplo: Función inversa

Halla la función inversa de la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2\;$ :

Solución:

Como la función $f(x)=x^2\;$ no es inyectiva, no podemos calcular su inversa. No obstante, podemos descomponerla en dos trozos que si sean funciones inyectivas por separado y a los que si podamos calcular su inversa:

$f(x)=x^2= \begin{cases} f_1(x)=x^2 \ , & si \ x \ge 0 \rightarrow f_1^{-1}(x)=\sqrt{x} \\ f_2(x)=x^2 \ , & si \ x < 0 \rightarrow f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x} \end{cases}$

En la siguiente escena puedes ver $f(x)=x^2\;$ (en verde), $f_1^{-1}(x)=\sqrt{x}$ (en amarillo), y $f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x}$ (en turquesa):

Click aquí si no se ve bien la escena

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Funci%C3%B3n_inversa_%281%C2%BABach%29"

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-|enunciado='''Actividad 1.'''  Representación gráfica de una función <math>f(x)\;</math> y de su inversa <math>f^{-1}(x)\;</math>.
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-En esta escena tienes la gráfica de la función <math>f(x) = x^3\;</math> (en verde) y la de <math>f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}</math> (en amarillo). Observa que son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante, la recta <math>y=x\;</math> (en rojo).
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-Prueba a cambiar también la función <math>f(x)=x^3\;</math> por otras funciones, por ejemplo, <math>f(x)=x^2\;</math>. ¿Quien sería su función inversa?. ¿Que ocurre?. Recuerda que para que una función tenga inversa debe ser [[Función inyectiva |inyectiva]].
-No olvides pulsar "Intro" al cambiar cada función.
-}}
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-Como la función <math>f(x)=x^2\;</math> no es inyectiva, no podemos calcular su inversa. No obstante, podemos descomponerla en dos trozos que si sean funciones inyectivas por separado y alos que si podamos calcular su inversa:
+Como la función <math>f(x)=x^2\;</math> no es inyectiva, no podemos calcular su inversa. No obstante, podemos descomponerla en dos trozos que si sean funciones inyectivas por separado y a los que si podamos calcular su inversa:
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