Plantilla:Dominio e imagen de una función (Bachiller)

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Tabla de contenidos

Dominio e imagen de una función

  • Al conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente x\;, se le llama dominio de definición de la función. Lo representaremos por D_f\; ó Dom_f\;
  • La imagen, rango o recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y\;. Lo representaremos por Im_f\; o R_f\;.

Dominio e imagen     Descripción:

En esta escena podrás visualizar el dominio y la imagen de una función. Podrás elegir entre un tramo de recta (función lineal) o de parábola (función cuadrática).

Dominio de definición de una función (8'51")     Sinopsis:

El "dominio de definición" de la función "f" se denota Domf, y es el conjunto que forman los números reales "x" que tienen imagen segun "f"; o sea, los "x" tales que al calcular "f(x)" no se viola ninguna Regla Sagrada. A la hora de representar la gráfica de "f" lo primero SIEMPRE es determinar Domf, pues así sabremos en qué puntos del eje de abcisas hay curva y en qué puntos no la hay.

Razones para restringir el dominio de una función

  • Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x\; (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos, logaritmos de valores no positivos)
  • Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos)
  • Por voluntad de quien propone la función.

ejercicio

Ejemplo: Dominio de definición de una función

Halla el dominio de las funciones:
a) y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!
b) y=\cfrac{1}{x-1}
c) y=\sqrt{x}
d) y=ln\, (x^2-4)\;
e) A=l^2\; (Área de un cuadrado de lado l\;)
Solución:
a) Su dominio es [-1,1]\;\!, por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de x\; da un valor de y\; válido.
b) Su dominio es \mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}, porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.
c) Su dominio es \mathbb{R^+}, porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.
d) Su dominio es (-2,2)\;, porque el logaritmo de un número sólo existe si éste es positivo. Al resolver la inecuación x^2-4>0\; resulta que x \in (-2,2).
d) Su dominio es (0, + \infty), porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos

Ejemplo (5'52")     Sinopsis:

Expresa el área de un círculo en función de la longitud de su circunferencia e indica su dominio y recorrido.

Reglas fundamentales

En el estudio de una función (dominio, límites, continuidad, etc.) hay una serie de "reglas sagradas" que hay que tener muy presentes:

  • Prohibido dividir por cero.
  • Toda raíz de índice par de un número negativo no es un número real.
  • El logaritmo (en cualquier base) de un número no positivo no es un número real.

Reglas "Sagradas" del Cálculo (3'43")     Sinopsis:

Hay ciertas reglas en matemáticas que no se pueden violar. Estas reglas afectan a la hora de determinar el dominio de una función. Aquí las vamos a recordar:

  • Prohibido dividir por cero.
  • Toda raíz de índice par de un número negativo no es un número real.
  • El logaritmo (en cualquier base) de un número no positivo no es un número real.

AVISO: será inmisericordemente suspendido ipso facto todo el que viole una Regla Sagrada; caerán sobre él toneladas de desprestigio y deshonor, y el estigma de tan ignominioso acto apestará la honra de su linaje por los siglos de los siglos.

De las funciones y de las serpientes (9'01")     Sinopsis:

Hay funciones que a la hora de trabajar con ellas no presentan ningún problema; otras sin embargo son realmente peligrosas.

En relación a los tres conceptos fundamentales del Cálculo (límite, continuidad y derivada de una función "f" en un punto "c"), y debido a las posibles violaciones de las tres Reglas Sagradas, las funciones son como las serpientes: las hay inofensivas y las hay peligrosas. Por eso, al trabajar con una función "f" en el punto "c", lo primero es invertir un par de segundos en analizar si "f" es o no peligrosa en "c". Naturalmente, si es peligrosa, pondremos todos nuestros sentidos en estado de máxima concentración y alerta, para así intentar evitar que nos mande al otro barrio.

9 ejemplos de "serpientes" peligrosas... o no (14'53")     Sinopsis:

En este vídeo vemos ejemplos en los que analizamos la peligrosidad de trabajar (límite, continuidad, derivada) con una cierta función "f" en un cierto punto "c".

Todo se reduce a analizar si en "c" se viola alguna Regla Sagrada; a saber:

  • Prohibido dividir por cero.
  • Toda raíz de índice par de un número negativo no es un número real.
  • El logaritmo (en cualquier base) de un número no positivo no es un número real.

Signo de una función

El estudio del signo de una función va a ser útil en la representación gráfica de funciones y en el estudio del dominio de funciones.

Signo de una función (8'52")     Sinopsis:

A la hora de representar la gráfica de la función "f", el estudio del signo del número real f(x) nos permite conocer la posición de la gráfica respecto al eje de abcisas.

  • La gráfica está por encima del eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) es positivo.
  • La gráfica está por debajo del eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) es negativo.
  • La gráfica toca al eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) = 0.

El estudio del signo de una función también es útil cuando queremos determinar el dominio de una función.

Signo de una función (2 ejercicios) (5'45")     Sinopsis:

2 ejercicios sobre el estudio del signo de una función

Signo de una función (4 ejercicios) (5'45")     Sinopsis:

4 ejercicios sobre el estudio del signo de una función

Cálculo del dominio de una función

1. Ejemplos (8'45")     Sinopsis:

5 ejemplos.

2. Ejemplos (8'07")     Sinopsis:

Varios ejemplos.

3. Ejemplos (9'14")     Sinopsis:

15 ejemplos.

4. Ejemplos (11'08")     Sinopsis:

16 ejemplos.

5. Ejemplos (9'24")     Sinopsis:

10 ejemplos.

6. Ejemplos (11'24")     Sinopsis:

11 ejemplos.

7. Ejemplos (13'01")     Sinopsis:

7 ejemplos.

8. Ejemplos (10'41")     Sinopsis:

8 ejemplos.

9. Ejemplos (8'07")     Sinopsis:

4 ejemplos.

10. Ejemplos (14'26")     Sinopsis:

6 ejemplos.

11. Ejemplos (9'33")     Sinopsis:

7 ejemplos.

10. Ejemplos (10'03")     Sinopsis:

7 ejemplos.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Concepto de función y de dominio de una función

(Pág. 249)

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