Estudio y representación de funciones (1ºBach)

En el estudio y representación gráfica de una función, f(x),tendremos que determinar los siguientes apartados:

1. Dominio de definición de la función f(x).
2. Puntos de corte con los ejes de coordenadas, especialmente con el eje de abscisas (eje X). Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
3. Signo de f(x): para el estudio del signo usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad. Éstos determinaran una serie de intervalos en el dominio de la función en los que ésta tiene signo constante. Tomando un punto cualquiera de cada zona y sustituyéndolo en f(x), tendremos el signo de la función en cada zona.
4. Puntos singulares de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f '(x)=0.
5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x): a partir de los puntos singulares y estudiando el signo de f '(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x).
6. Asíntotas y ramas infinitas de f(x): se estudió en temas anteriores.
7. Funciones: Definición (1ºBach)#Simetrías de una función

En el estudio y representación gráfica de una función polinómica, f(x),tendremos que determinar los siguientes apartados:

1. Dominio: .
2. Puntos de corte: Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0, para lo que tendremos que resolver una ecuación polinómica usando las técnicas vistas en temas anteriores. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
3. Signo de f(x): para el estudio del signo usaremos sólo los puntos de corte ya que una función polinómica no tiene discontinuidades.
4. Puntos singulares de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f '(x)=0. Por tanto, tendremos que resolver otra ecuación polinómica.
5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x): a partir de los puntos singulares de f(x) y estudiando el signo de f '(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x).
6. Concavidad* de f(x): a partir de los puntos singulares de f '(x) y estudiando el signo de f "(x). Es como estudiar el crecimiento de f '(x).
7. Asíntotas y ramas infinitas: Las funciones polinómicas no tienen ningún tipo de asíntotas. Tan sólo habrá que estudiar el límite cuando x tiende a +/- infinito.
8. Simetrías: ver si f(x) es par o impar.

(*) El estudio de concavidad se verá en 2º de bachillerato, aunque se verá como se hace en algún vídeo.

Estudia y representa:

a) .

b) .

c) .

En el estudio y representación gráfica de una función racional, ,tendremos que determinar los siguientes apartados:

1. Dominio: .
2. Puntos de corte: Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0, para lo que tendremos que resolver la ecuación polinómica P(x)=0 usando las técnicas vistas en temas anteriores. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
3. Signo de f(x): para el estudio del signo usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad, que son los puntos donde se anula el denominador, es decir, donde Q(x)=0.
4. Puntos singulares de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f'(x)=0. Por tanto, tendremos que resolver otra ecuación polinómica.
5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x): a partir de los puntos singulares y estudiando el signo de f'(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x).
6. Asíntotas y ramas infinitas:
   1. A.V.: Son "candidatos" a asíntota vertical los puntos donde Q(x)=0. Habrá que estudiar el límite de f(x) cuando x tiende a esos puntos candidatos. Aquellos para los que ese límite sea + o - infinito serán puntos con A.V.
   2. A.H.: Cuando el grado de Q(x) sea mayor o igual que el grado de P(x) tendremos asíntota horizontal.
   3. A.O.: Cuando el grado de P(x) sea igual al grado de Q(x) más uno, tendremos asíntota oblicua.
   4. Cuando no haya A.H. ni A.O. tendremos ramas infinitas.
7. Simetrías: ver si f(x) es par o impar.

Estudia y representa:

a) .

b) .

c) .